Bạn đang xem bài viết Tính chất tứ giác nội tiếp? Các dạng bài tập về tính chất nội tiếp tại Thcslytutrongst.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.
Tính chất tứ giác nội tiếp là một trong những khái niệm cơ bản trong hình học Euclid. Tứ giác nội tiếp là một tứ giác có tất cả các đỉnh đều nằm trên cùng một đường tròn.
Tính chất nội tiếp của tứ giác mang lại những thông tin quan trọng về quan hệ giữa các góc và cạnh của tứ giác. Đặc biệt, tứ giác nội tiếp có một số tính chất đặc biệt như:
1. Tổng của hai góc ở hai đỉnh không kề nhau của tứ giác nội tiếp bằng 180 độ. Điều này được gọi là tính chất tứ giác nội tiếp cùng cạnh không kề.
2. Góc tại một đỉnh của tứ giác nội tiếp bằng nửa tổng của hai góc ở hai đỉnh đối diện. Đây là tính chất tứ giác nội tiếp đối tượng.
Các dạng bài tập về tính chất tứ giác nội tiếp thường liên quan đến việc chứng minh một tứ giác nội tiếp, tìm góc hoặc độ dài các cạnh của tứ giác, hoặc áp dụng các tính chất của tứ giác nội tiếp để giải quyết các bài toán hình học khác. Với sự ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như hình học, tin học, hoặc kỹ thuật, việc nắm vững tính chất tứ giác nội tiếp là rất quan trọng.
Chuyên đề tính chất tứ giác nội tiếp là một bài học quan trọng nằm trong chương trình toán lớp 9. Tuy nhiên không phải bạn học sinh nào cũng nắm vững kiến thức này. Tính chất tứ giác nội tiếp là gì? Chúng Tôi sẽ cùng bạn hệ thống lại kiến thức và ôn tập kĩ hơn nhé!
Tứ giác nội tiếp là gì?
Tứ giác nội tiếp là một tứ giác mà cả bốn đỉnh đều nằm trên một đường tròn. Đường tròn này được gọi là đường tròn ngoại tiếp, và các đỉnh của tứ giác được gọi là đồng viên. Tâm và bán kính đường tròn lần lượt được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Thông thường tứ giác nội tiếp là tứ giác lồi, nhưng cũng tồn tại các tứ giác nội tiếp lõm. Các công thức trong bài viết sẽ chỉ áp dụng cho tứ giác lồi.
Tính chất tứ giác nội tiếp
Tính chất 1: Trong một tứ giác nội tiếp ABCD, các tâm đường tròn nội tiếp M1, M2, M3, M4 của các tam giác DAB, ABC, BCD, và CDA là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Đây là phát biểu của định lý Nhật Bản về tứ giác nội tiếp.
Ngoài ra, các trực tâm của bốn tam giác trên là đỉnh của một tứ giác nội tiếp đồng dạng với tứ giác ABCD, và các trọng tâm của bốn tam giác này cũng tạọ nên một tứ giác nội tiếp.
Tính chất 2: Trong một tứ giác nội tiếp ABCD với tâm ngoại tiếp O, gọi P là giao điểm của AC và BD. Ta có số đo góc APB là trung bình cộng của số đo hai góc AOB và COD. Đây là một kết quả trực tiếp suy ra từ đinh lý góc trong và định lý góc ngoài.
Tính chất 3: Không tồn tại một tứ giác nội tiếp có diện tích và số đo bốn cạnh khác nhau đều là số hữu tỉ.
Tính chất 4: Nếu hai cặp cạnh đối của tứ giác cắt nhau tại E và F, thì tia phân giác của hai góc trong có đỉnh E và F là vuông góc với nhau
Đặc điểm tứ giác nội tiếp
Sau đây là đặc điểm của một tứ giác nội tiếp:
- Tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác nội tiếp là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh.
- Nếu tứ giác nội tiếp có 2 góc đối diện là góc vuông thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của đường chéo nối liền 2 đỉnh kia.
- Nếu tứ giác nội tiếp có 2 góc vuông cùng nhìn 1 cạnh thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh mà 2 góc cùng nhìn.
Các công thức liên quan tứ giác nội tiếp
Công thức tính diện tích tứ giác nội tiếp
Công thức tính diện tích hình tứ giác thuộc các hình cụ thể như sau (Kí hiệu là S)
Tính diện tích hình tứ giác thường:
Trong đó: a, b, c, d là độ dài cạnh bên
Công thức tính đường chéo tứ giác nội tiếp
Trong một tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh A, B, C, D và cạnh a = AB, b = BC, c = CD, d = DA, độ dài đường chéo p = AC và q = BD có thể được cho bởi công thức
p = ( a c + b d ) ( a d + b c ) a b + c d {displaystyle p={sqrt {frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}} and q = ( a c + b d ) ( a b + c d ) a d + b c {displaystyle q={sqrt {frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}}
Công thức các góc và liên hệ giữa các góc trong tứ giác
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180∘180∘. Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180∘180∘ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
Ví dụ: Trong hình 11 , tứ giác nội tiếp ABCDABCD có ˆA+ˆC=180∘;ˆB+ˆD=180∘A^+C^=180∘;B^+D^=180∘.
Chú ý : Trong các hình đã học thì hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được đường tròn.
Công thức Parameshvara về bán kính đường tròn ngoại tiếp
Một tứ giác nội tiếp có các cạnh a, b, c, d và nửa chu vi s; có độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp xác định bởi:[11][18]
R = 1 4 ( a b + c d ) ( a c + b d ) ( a d + b c ) ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) . {displaystyle R={frac {1}{4}}{sqrt {frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.}. Công thức được tìm ra vào thế kỷ XV bởi nhà toán học Ấn Độ Vatasseri Parameshvara.
Sử dụng công thức Brahmagupta, công thức Parameshvara có thể được phát biểu lại là:
4 K R = ( a b + c d ) ( a c + b d ) ( a d + b c ) {displaystyle 4KR={sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}}trong đó K là diện tích tứ giác nội tiếp.
Các dạng bài toán về tính chất tứ giác nội tiếp
Dạng 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp
Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
- Cách 1. Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đôì bằng 180°.
- Cách 2. Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.
- Cách 3. Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
- Cách 4. Tìm được một điểm cách đều 4 đỉnh của tứ giác.
Bài 1.1: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Chứng minh các tứ giác AMHN và BNMC là những tứ giác nội tiếp.
Bài 1.2: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.
Bài 2.1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P. Chứng minh PEDC là tứ giác nội tiếp.
Bài 2.2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là điểm thuộc đường tròn. Vẽ MH vuông góc với BC tại H, vẽ MI vuông góc với AC. Chứng minh MIHC là tứ giác nội tiếp.
Lời giải:
Dạng 2: Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song hoặc đồng quy, các tam giác đồng dạng…
Bài tập 3.1. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK vuông góc AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chứng minh:
a) Tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp;
b) AH.AB = AD2
c) Tam giác ACE là tam giác cân.
Lời giải:
Bài tập 3.2. Cho nửa (O) đường kính AB. Lấy M thuộc OA (M không trùng O và A). Qua M vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Trên d lấy N sao cho ON > R. Nối NB cắt (O) tại C. Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (E là tiếp điểm, E và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d). Chứng minh:
a) Bốn điểm O, E, M, N cùng thuộc một đường tròn;
b) NE2 = NC.NB;
c) góc NEH = góc NME (H là giao điểm của AC và d);
d) NF là tiếp tuyến (O) với F là giao điểm của HE và (O)
Lời giải:
Bài viết trên của Chúng Tôi đã chia sẻ đến bạn chủ đề tính chất tứ giác nội tiếp và các dạng bài tập cơ bản liên quan đến bài toán này. Chúc các bạn học tập tốt. Hẹn gặp lại ở bài viết sau!
Trong toán học, tứ giác nội tiếp là một loại hình học đặc biệt có tính chất hết sức thú vị và quan trọng. Tính chất tứ giác nội tiếp đã được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học.
Từ định nghĩa, một tứ giác được gọi là nội tiếp nếu tồn tại một đường tròn đi qua bốn đỉnh của tứ giác đó. Điều này có nghĩa là các đỉnh của tứ giác nằm trên cùng một đường tròn và được gọi là “đồng trục”. Một số tính chất cơ bản của tứ giác nội tiếp bao gồm:
1. Tính chất góc: Tất cả các góc đối diện với nhau trong một tứ giác nội tiếp đều có tổng bằng 180 độ. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các góc nội tiếp, góc ngoại tiếp và góc xiên.
2. Tính chất góc nội tiếp và góc ngoại tiếp: Tính chất này khẳng định rằng góc nội tiếp tại một cạnh của tứ giác nội tiếp bằng góc ngoại tiếp tại cạnh đối diện cùng. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của các góc đối diện.
3. Tính chất độ dài đường chéo: Độ dài của các đường chéo trong một tứ giác nội tiếp có tổng bằng nhau và bằng đường kính của đường tròn nội tiếp.
Các dạng bài tập về tính chất tứ giác nội tiếp rất đa dạng và thường yêu cầu sự tinh thông về các tính chất trên. Một số dạng bài tập phổ biến bao gồm:
1. Xác định tính chất góc và cạnh của một tứ giác nội tiếp đã biết các độ dài cạnh và đường chéo.
2. Chứng minh một tứ giác là nội tiếp bằng cách sử dụng các định lý quan trọng như định lý góc nội tiếp, góc ngoại tiếp và định lý đường chéo.
3. Đọc và áp dụng các tính chất của tứ giác nội tiếp để giải quyết các bài toán khác nhau như tính diện tích, tính chu vi và đo độ dài các cạnh.
Như vậy, tính chất tứ giác nội tiếp là một khái niệm quan trọng và hữu ích trong toán học và có thể ứng dụng để giải quyết các bài toán phức tạp khác nhau. Việc hiểu và áp dụng những tính chất này sẽ giúp chúng ta phát triển kỹ năng tư duy logic và phản biện
Cảm ơn bạn đã xem bài viết Tính chất tứ giác nội tiếp? Các dạng bài tập về tính chất nội tiếp tại Thcslytutrongst.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.
Từ Khoá Liên Quan:
1. Tứ giác nội tiếp
2. Đường tròn nội tiếp tứ giác
3. Đường tròn ngoại tiếp tứ giác
4. Giao điểm của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tứ giác
5. Tính chất góc nội tiếp tính đều
6. Tính chất hai đường chéo cắt nhau ở trung điểm
7. Tính chất tứ giác nội tiếp cùng đường tròn ngoại tiếp
8. Phần diện tích lớn nhất của tứ giác nội tiếp
9. Đường trung trực của cạnh tứ giác nội tiếp
10. Tính chất tứ giác nội tiếp vuông tại hai đỉnh không kề nhau
11. Tính chất tứ giác nội tiếp có tứ đỉnh trên cùng một đường tròn
12. Tính chất tứ giác nội tiếp đối xứng qua đường trung trực
13. Bài tập tính chất tứ giác nội tiếp
14. Bài tập tính chất góc nội tiếp tứ giác
15. Bài tập tính chất đường chéo của tứ giác nội tiếp.
