Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ Giải SGK Toán 10 trang 70 - Tập 1 sách Kết nối tri thức với cuộc sống

Bạn đang xem bài viết Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ Giải SGK Toán 10 trang 70 – Tập 1 sách Kết nối tri thức với cuộc sống tại Thcslytutrongst.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.

Toán 10 bài 11 Kết nối tri thức trang 70 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi phần luyện tập và 6 bài tập trong SGK bài Tích vô hướng của hai vectơ thuộc chương 4 Vectơ.

Giải Toán 10 Kết nối tri thức bài 11 trang 70 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán 10 tập 1. Giải Toán 10 bài 11 Kết nối tri thức là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh lớp 10 trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Mục Lục Bài Viết

Luyện tập Toán 10 Bài 11 Kết nối tri thức

Luyện tập 1

Cho tam giác đều ABC. Tính $Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ Giải SGK Toán 10 trang 70 – Tập 1 sách Kết nối tri thức với cuộc sống$

Khám Phá Thêm: Trắc nghiệm Lịch sử 12 Bài 5 (Có đáp án) Trắc nghiệm Bài 5 Lịch sử 12

Gợi ý đáp án

Giả sử lấy điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

=> $overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC}$

Ta có tam giác ABC đều

=> $widehat {ABC} = widehat {ACB} = widehat {BAC} = {60^0}$

=> $widehat {DAC} = widehat {ACB} = {60^0}$ (Hai góc so le trong)

=> $widehat {BAD} = {120^0}$

Ta có: $left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {BC} } right) = left( {overrightarrow {AD} ;overrightarrow {BC} } right) = widehat {BAD} = {120^0}$

Luyện tập 2

Cho tam giác AB C có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC}$ theo a, b, c.

Gợi ý đáp án

Ta có:

$overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} = left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AC} } right|.cos left( {overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} } right)$

Mà $left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AC} } right) = widehat {BAC} Rightarrow cos left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AC} } right) = cos widehat {BAC}$

Ta có: $cos widehat {BAC} = frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$

=> $overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AC} = AB.AC.frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$

=> $overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AC} = b.c.frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$

=> $overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AC} = frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}$

Giải Toán 10 trang 70 Kết nối tri thức Tập 1

Bài 4.21 trang 70

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ $overrightarrow a$ và $overrightarrow b$ trong mỗi trường hợp sau:

$a) overrightarrow a = ( - 3;1),;overrightarrow b = (2;6)$

$b) overrightarrow a = (3;1),;overrightarrow b = (2;4)$

$c) overrightarrow a = ( - sqrt 2 ;1),;overrightarrow b = (2; - sqrt 2 )$

Gợi ý đáp án

$overrightarrow a .overrightarrow b = ( - 3).2 + 1.6 = 0$

$Rightarrow overrightarrow a bot overrightarrow b hay left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = {90^o}.$

$left{ begin{array}{l}overrightarrow a .overrightarrow b = 3.2 + 1.4 = 10\|overrightarrow a |, = sqrt {{3^2} + {1^2}} = sqrt {10} ;;,|overrightarrow b |, = sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2sqrt 5 end{array} right.$

$begin{array}{l} Rightarrow cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = frac{{10}}{{sqrt {10} .2sqrt 5 }} = frac{{sqrt 2 }}{2}\ Rightarrow left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = {45^o}end{array}$

c) Dễ thấy: $overrightarrow a$ và $overrightarrow b$ cùng phương do $frac{{ - sqrt 2 }}{2} = frac{1}{{ - sqrt 2 }}$

Hơn nữa: $overrightarrow b = left( {2; - sqrt 2 } right) = - sqrt 2 .left( { - sqrt 2 ;1} right) = - sqrt 2 .overrightarrow a ;; - sqrt 2 < 0$

Do đó: $overrightarrow a$ và $overrightarrow b$ ngược hướng.

$Rightarrow left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = {180^o}$

Bài 4.22 trang 70

Tìm điều kiện của $overrightarrow u ,;overrightarrow v$ để:

$a) overrightarrow u .;overrightarrow v = left| {overrightarrow u } right|.;left| {overrightarrow v } right|$

$b) overrightarrow u .;overrightarrow v = - left| {overrightarrow u } right|.;left| {overrightarrow v } right|$

Gợi ý đáp án

a) Ta có: $overrightarrow u .;overrightarrow v = left| {overrightarrow u } right|.;left| {overrightarrow v } right|.cos left( {overrightarrow u ,;overrightarrow v } right) = left| {overrightarrow u } right|.;left| {overrightarrow v } right|$

$Rightarrow cos left( {overrightarrow u ,;overrightarrow v } right) = 1 Leftrightarrow left( {overrightarrow u ,;overrightarrow v } right) = {0^o}$

Nói cách khác: $overrightarrow u ,;overrightarrow v$ cùng hướng.

Ta có: $overrightarrow u .;overrightarrow v = left| {overrightarrow u } right|.;left| {overrightarrow v } right|.cos left( {overrightarrow u ,;overrightarrow v } right) =- left| {overrightarrow u } right|.;left| {overrightarrow v } right|$

$Rightarrow cos left( {overrightarrow u ,;overrightarrow v } right) = - 1 Leftrightarrow left( {overrightarrow u ,;overrightarrow v } right) = {180^o}$

Nói cách khác: $overrightarrow u ,;overrightarrow v$ ngược hướng.

Bài 4.23 trang 70

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; 2), B(-4; 3). Gọi M (t; 0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính $overrightarrow {AM} .overrightarrow {BM}$ theo t.

b) Tính t để $widehat {AMB} = {90^o}$

Gợi ý đáp án

Ta có: A (1; 2), B(-4; 3) và M (t; 0)

$begin{array}{l} Rightarrow overrightarrow {AM} = (t - 1; - 2),;overrightarrow {BM} = (t + 4; - 3)\ Rightarrow overrightarrow {AM} .overrightarrow {BM} = (t - 1)(t + 4) + ( - 2)( - 3)\ quad quad quad quad quad quad= {t^2} + 3t + 2. end{array}$

Để $widehat {AMB} = {90^o}$ hay $AM bot BM$ thì $overrightarrow {AM} .overrightarrow {BM} = 0$

$begin{array}{l} Leftrightarrow {t^2} + 3t + 2 = 0\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = - 1\t = - 2end{array} right.end{array}$

Vậy t = -1 hoặc t = -2 thì $widehat {AMB} = {90^o}$

Bài 4.24 trang 70

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A (-4; 1), B (2;4), C (2; -2)

a) Giải tam giác

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

$left{ begin{array}{l}overrightarrow {AB} = (2 - ( - 4);4 - 1) = (6;3)\overrightarrow {BC} = (2 - 2; - 2 - 4) = (0; - 6)\overrightarrow {AC} = (2 - ( - 4); - 2 - 1) = (6; - 3)end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}AB = left| {overrightarrow {AB} } right| = sqrt {{6^2} + {3^2}} = 3sqrt 5 \BC = left| {overrightarrow {BC} } right| = sqrt {{0^2} + {{( - 6)}^2}} = 6\AC = left| {overrightarrow {CA} } right| = sqrt {{6^2} + {{( - 3)}^2}} = 3sqrt 5 .end{array} right.$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

Khám Phá Thêm: Giáo án Khoa học 4 sách Cánh diều Kế hoạch bài dạy Khoa học lớp 4 năm 2023 - 2024

$cos widehat A = frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = frac{{{{left( {3sqrt 5 } right)}^2} + {{left( {3sqrt 5 } right)}^2} - {{left( 6 right)}^2}}}{{2.3sqrt 5 .3sqrt 5 }} = frac{3}{5} Rightarrow widehat A approx 53,{13^o}$

$cos widehat B = frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = frac{{{{left( 6 right)}^2} + {{left( {3sqrt 5 } right)}^2} - {{left( {3sqrt 5 } right)}^2}}}{{2.6.3sqrt 5 }} = frac{{sqrt 5 }}{5} Rightarrow widehat B approx 63,{435^o}$

$Rightarrow widehat C approx 63,{435^o}$

Vậy tam giác ABC có: $a = 6;b = 3sqrt 5 ;c = 3sqrt 5 ; widehat A approx 53,{13^o};widehat B = widehat C approx 63,{435^o}.$

Gọi H có tọa độ (x; y)

$Rightarrow left{ begin{array}{l}overrightarrow {AH} = (x - ( - 4);y - 1) = (x + 4;y - 1)\overrightarrow {BH} = (x - 2;y - 4)end{array} right.$

Lại có: H là trực tâm tam giác ABC

$Rightarrow AH bot BC$ và $BH bot AC$

$Rightarrow left( {overrightarrow {AH} ,overrightarrow {BC} } right) = {90^o} Leftrightarrow cos left( {overrightarrow {AH} ,overrightarrow {BC} } right) = 0$ và

$left( {overrightarrow {BH} ,overrightarrow {AC} } right) = {90^o} Leftrightarrow cos left( {overrightarrow {BH} ,overrightarrow {AC} } right) = 0$

Do đó $overrightarrow {AH} .overrightarrow {BC} = overrightarrow 0 và overrightarrow {BH} .overrightarrow {AC} = overrightarrow 0 .$

Mà: overrightarrow {BC} = (0; – 6)

$Rightarrow (x + 4).0 + (y - 1).( - 6) = 0 Leftrightarrow - 6.(y - 1) = 0 Leftrightarrow y = 1.$

Và $overrightarrow {AC} = (6; - 3)$

$begin{array}{l} Rightarrow (x - 2).6 + (y - 4).( - 3) = 0\ Leftrightarrow 6x - 12 + ( - 3).( - 3) = 0\ Leftrightarrow 6x - 3 = 0\ Leftrightarrow x = frac{1}{2}.end{array}$

Vậy H có tọa độ $left( {1;frac{1}{2}} right)$

Bài 4.25 trang 70

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:

${S_{ABC}} = frac{1}{2}sqrt {{{overrightarrow {AB} }^2}.{{overrightarrow {AC} }^2} - {{left( {overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} } right)}^2}} .$

Gợi ý đáp án

Đặt $A = dfrac{1}{2}sqrt {{{overrightarrow {AB} }^2}.{{overrightarrow {AC} }^2} - {{left( {overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} } right)}^2}}$

$begin{array}{l} Rightarrow A = dfrac{1}{2}sqrt {A{B^2}.A{C^2} - {{left( {AB.AC.cos A} right)}^2}} \ Leftrightarrow A = dfrac{1}{2}sqrt {A{B^2}.A{C^2}left( {1 - {{cos }^2}A} right)} end{array}$

Mà $1 - {cos ^2}A = {sin ^2}A$

$Rightarrow A = dfrac{1}{2}sqrt {A{B^2}.A{C^2}.{{sin }^2}A}$

$Leftrightarrow A = dfrac{1}{2}.AB.AC.sin A (Vì {0^o} < widehat A < {180^o} nên sin A > 0)$

Do đó $A = {S_{ABC}}$ hay ${S_{ABC}} = dfrac{1}{2}sqrt {{{overrightarrow {AB} }^2}.{{overrightarrow {AC} }^2} - {{left( {overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} } right)}^2}} .$ (đpcm)

Bài 4.26 trang 70

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

$M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$

Gợi ý đáp án

Ta có:

$begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {overrightarrow {MA} ^2} + {overrightarrow {MB} ^2} + {overrightarrow {MC} ^2}\ = {left( {overrightarrow {MG} + overrightarrow {GA} } right)^2} + {left( {overrightarrow {MG} + overrightarrow {GB} } right)^2} + {left( {overrightarrow {MG} + overrightarrow {GC} } right)^2}\ = {overrightarrow {MG} ^2} + 2overrightarrow {MG} .overrightarrow {GA} + {overrightarrow {GA} ^2} + {overrightarrow {MG} ^2} + 2overrightarrow {MG} .overrightarrow {GB} + {overrightarrow {GB} ^2} + {overrightarrow {MG} ^2} + 2overrightarrow {MG} .overrightarrow {GC} + {overrightarrow {GC} ^2}\ = 3{overrightarrow {MG} ^2} + 2overrightarrow {MG} .left( {overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} } right) + {overrightarrow {GA} ^2} + {overrightarrow {GB} ^2} + {overrightarrow {GC} ^2}\ = 3{overrightarrow {MG} ^2} + 2overrightarrow {MG} .overrightarrow 0 + {overrightarrow {GA} ^2} + {overrightarrow {GB} ^2} + {overrightarrow {GC} ^2}end{array}$

(do G là trọng tâm tam giác ABC)

begin{array}{l} = 3{overrightarrow {MG} ^2} + {overrightarrow {GA} ^2} + {overrightarrow {GB} ^2} + {overrightarrow {GC} ^2}\ = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}end{array} (đpcm).

Cảm ơn bạn đã xem bài viết Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ Giải SGK Toán 10 trang 70 – Tập 1 sách Kết nối tri thức với cuộc sống tại Thcslytutrongst.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.

Luyện tập Toán 10 Bài 11 Kết nối tri thức

Luyện tập 1

Luyện tập 2

Giải Toán 10 trang 70 Kết nối tri thức Tập 1

Bài 4.21 trang 70

Bài 4.22 trang 70

Bài 4.23 trang 70

Bài 4.24 trang 70

Bài 4.25 trang 70

Bài 4.26 trang 70

Bài Viết Liên Quan