Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy Ôn tập Toán 9

Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy là tài liệu vô cùng hữu ích mà Thcslytutrongst.edu.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 9tham khảo.

Chứng minh 3 điểm thẳng đồng quy gồm tổng hợp kiến thức lý thuyết kèm theo các dạng bài tập có đáp án và lời giải chi tiết. Đây là tài liệu hỗ trợ học sinh lớp 9 trong quá trình học tập, ôn luyện tại nhà được tốt hơn. Bên cạnh đó các em tham khảo thêm: các dạng toán về căn bậc hai, cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

1. Đồng quy là gì?

Đồng quy thực chất là một từ Hán Việt nhưng được sử dụng khá nhiều trong cuộc sống hàng ngày.

Đồng: Có nghĩa là cùng nhau, song hành, sát cánh

Quy: Có nghĩa là tụ lại, tập trung, tập hợp tại một điểm

Nói tóm lại “đồng quy” tức là cùng gặp nhau tại một vị trí cụ thể.

2. Ba đường thẳng đồng quy là gì?

Định nghĩa về ba đường thẳng đồng quy được diễn giải như sau: “Cho ba đường thẳng lần lượt là a, b, c không trùng với nhau. Nếu ba đường thẳng a,b,c cùng đi qua một điểm O nào đó thì ta sẽ gọi đó là đồng quy.

3. Tính chất của 3 đường thẳng đồng quy

– Nếu hai đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm cụ thể thì từ đó có thể suy ra đường cao thứ 3 cũng sẽ cùng đi qua giao điểm đó.

– Nếu ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là trọng tâm của tam giác.

– Ba đường cao trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là trực tâm của tam giác.

– Nếu hai đường trung tuyến trong tam giác bất kỳ cắt nhau tại một điểm thì từ đó ta có thể suy ra đường trung tuyến thứ 3 chắc chắn cũng đi qua giao điểm đó. Trọng tâm sẻ chia đoạn thẳng trung tuyến thành 3 phần: Từ trọng tâm lên tới đỉnh chiếm tới 2/3 độ dài của trung tuyến đó.

– Nếu ba đường phân giác trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm cụ thể thì điểm này sẽ được gọi là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác.

– Nếu hai đường phân giác của tam giác cắt nhau tại một điểm cụ thể thì từ đó ta có thể suy ra đường phân giác thứ 3 cũng sẽ đi qua giao điểm đó. Giao điểm của 3 đường phân giác sẽ cách đều 3 cạnh của tam giác.

– Khi ba đường trung trực trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

– Nếu hai đường trung trực bên trong tam giác cắt nhau tại một điểm thì từ đó chúng ta có thể suy ra đường trung trực thứ 3 chắc chắn đi qua giao điểm đó. Giao điểm của 3 đường trung trực sẽ cách đều 3 đỉnh của tam giác.

4. Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy bạn có thể áp dụng những cách làm sau đây:

Cách 1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng, sau đó tiến hành chứng minh đường thẳng thứ ba cũng đi qua giao điểm đó.

Cách 2: Chứng minh một điểm bất kỳ cũng thuộc vào ba đường thẳng đó.

Cách 3: Sử dụng 1 trong những tính chất đồng quy trong tam giác như là:

* Ba đường thẳng có chứa các đường trung tuyến.

* Ba đường thẳng có chứa các đường phân giác.

* Ba đường thẳng có chứa các đường trung trực.

* Ba đường thẳng có chứa các đường các đường cao.

Cách 4: Sử dụng tính chất của các đường thẳng định ra trên hai đường thẳng song song và những đoạn thẳng tỉ lệ.

Cách 5: Sử dụng các chứng minh phản chứng.

Cách 6: Sử dụng tính chất thẳng hàng của các điểm

Cách 7: Chứng minh các đường thẳng đều đi qua một điểm duy nhất.

5. Ví dụ chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

Ví dụ 1: Tìm m để 3 đường thẳng sau đồng quy tại 1 điểm.

Ta có 3 đường thẳng lần lượt là (d1): y = 2x + 1; (d2): y = (-x) – 2; (d3): y = (m-1)x – 4

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ là giao điểm của đường thẳng (d1) và (d2) ta có: y = 2x + 1 = (-x) – 2 ⇔ 3x = -3 ⇔ x = -1

Suy ra ta có y = 2 x (-1) + 1 = -1

Như vậy giao điểm của (d1) với (d2) sẽ là là I(-1;-1)

Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm I sẽ phải thuộc vào đường thẳng (d3)

=> -1 = (m – 1) x (-1) – 4 ⇔ m = -2

Như vậy phương trình đường thẳng (d3) sẽ là: y = -3x – 4

Ví dụ 2

Cho tam giác ABC, qua lần lượt mỗi đỉnh A, B, C ta kẻ 3 đường thẳng song song với cạnh đối diện và chúng sẽ cắt nhau tại F, D, E. Hãy chứng minh rằng ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy tại 1 điểm.

Lời giải:

Ta có:

AE // BC

AB // CE

Từ đó suy ra được ABCE là 1 hình bình hành.

⇒ AE = BC

Dùng cách chứng minh tương tự ta cũng có ACBF là hình bình hành.

⇒ AF = BC

⇒ AE = AF

Như vậy A là trung điểm của EF.

Tương tự ta cũng có được B là trung điểm của đường thẳng DF, C là trung điểm của DE.

Như vậy, A, B, C lần lượt là trung điểm của ba cạnh tam giác DEF. Do đó ta có thể ⇒AD, BE, CF đồng quy tại trọng tâm của tam giác DEF.

6. Bài tập chứng minh ba đường thẳng đồng quy

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD; M là trung điểm CD; I thuộc đoạn AG; BI cắt mp (ACD) tại J. Chọn mệnh đề sai

A. Giao tuyến của (ACD) và (ABG) là AM
B. 3 điểm A; J; M thẳng hàng.
C. J là trung điểm của AM.
D. Giao tuyến của mp(ACD) và (BDJ) là DJ.

Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi E; F; G là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB; AC; BD sao cho EF cắt BC tại I; EG cắt AD tại H. Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?

A. CD; EF; EG
B. CD; IG; HF
C. AB; IG; HF
D, AC; IG; BD

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không phải là hình thang. Trên cạnh SC lấy điểm M . Gọi N là giao điểm của SD và mp (AMB). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Ba đường thẳng AB; CD; MN đôi một song song
B. Ba đường thẳng AB; CD; MN đôi một cắt nhau
C. Ba đường thẳng AB; CD; MN đồng quy
D. Ba đường thẳng AB; CD; MN cùng thuộc một mặt phẳng

Bài 4. Cho tam giác ABC và một điểm O ở trong tam giác. Gọi F, G lần lượt là trọng tâm của các tam giác AOB và tam giác AOC. Chứng minh ba đường thẳng AO, BF, CG đồng quy

Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD. Vẽ các điểm M, N sao cho AB, AC theo thứ tự là các đường trung trực của DM, DN. Gọi giao điểm cua MN với AB và AC theo thứ tự là F và E. Chứng minh ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy.

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Gọi O và K lần lượt là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABH và ACH. Vẽ AD vuông góc với OK. Chứng minh rằng các đường thẳng AD, BO, CK đồng quy.