Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2 Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Bạn đang xem bài viết Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2 Ôn thi vào lớp 10 môn Toán tại Thcslytutrongst.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.

Cách tính delta, cách tính delta phẩy trong phương trình bậc 2 là kiến thức quan trọng và là nền tảng cho các bài toán từ cơ bản đến nâng cao của môn Toán 9. Trong bài viết hôm nay Thcslytutrongst.edu.vn sẽ giới thiệu chi tiết công thức tính delta, delta phẩy ứng dụng giải phương trình bậc 2 và nhiều dạng bài tập mẫu vận dụng.

Thông qua tài liệu cách tính delta, delta phẩy các bạn có thêm nhiều gợi ý tham khảo, nhanh chóng nắm được công thức để biết cách vận dụng vào giải bài tập. Bên cạnh đó các bạn xem thêm một số bài tập Toán nâng cao lớp 9, tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

Mục Lục Bài Viết

1. Phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:

ax² + bx + c = 0

Trong đó a ≠ 0, a, b là hệ số, c là hằng số.

2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Ta sử dụng một trong hai công thức nghiệm sau để giải phương trình bậc hai một ẩn:

+ Tính: ∆ = b² – 4ac

Nếu ∆ > 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt:

$Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2 Ôn thi vào lớp 10 môn Toán$

Nếu ∆ = 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm kép:

$x_1=x_2=frac{-b}{2a}$

Nếu ∆ < 0 thì phương trìnhax² + bx + c = 0 vô nghiệm:

+ Tính : ∆’ = b’² – ac trong đó $b'=frac{b}{2}$ ( được gọi là công thức nghiệm thu gọn)

Nếu ∆’ > 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=frac{-b' +sqrt{triangle'}}{a}; x_2=frac{-b -sqrt{triangle'}}{a}$

Nếu ∆‘ = 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm kép:

$x_1=x_2=frac{-b'}{a}$

Nếu ∆‘ < 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 vô nghiệm.

3. Hệ thức Viet

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: $a x^{2}+b x+c=0(a neq 0)left({ }^{*}right)$ có 2 nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ . Khi đó 2 nghiệm này thỏa mãn hệ thức sau: thì ta có Công thức Vi-et như sau:

$left{begin{array}{l} S=x_{1}+x_{2}=-frac{b}{a} \ P=x_{1} x_{2}=frac{c}{a} end{array},left(S^{2}-4 P geqslant 0right)right.$

Hệ thức Viet dùng để giải quyết nhiều dạng bài tập khác nhau liên quan đến hàm số bậc 2 và các bài toán quy về hàm số bậc 2 . Xong 3 công thức nghiệm bên trên thì chúng ta đã có thể thoải mái làm bài tập rồi. Hãy cùng đến các bài tập vận dụng ngay dưới đây.

Phân dạng bài tập sử dụng công thức delta, delta phẩy

Khám Phá Thêm: Bộ đề thi học kì 1 môn Toán 2 năm 2023 - 2024 sách Kết nối tri thức với cuộc sống 7 Đề kiểm tra Toán lớp 2 theo Thông tư 27 (Có đáp án + Ma trận)

Ứng với 3 công thức trên, chúng ta có các dạng bài tập tương ứng: Giải phương trình bậc 2 một ẩn cơ bản và biện luận nghiệm phương trình bậc 2 một ẩn. Để giải các dạng bài tập này, chúng ta cần nắm vững công thức nghiệm delta, công thức nghiệm delta phẩy và định lý Vi-et (dùng để giải các bài toán biện luận tham số).

4. Tại sao phải tìm ∆?

Ta xét phương trình bậc 2:

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

⇔ a(x² + $frac{b}{a}$ x) + c = 0 (rút hệ số a làm nhân tử chung)

⇔ a[x² +2. $frac{b}{{2a}}$ .x + ${left( {frac{b}{{2a}}} right)^2}$ – ${left( {frac{b}{{2a}}} right)^2}$ ]+ c = 0 (thêm bớt các hệ số để xuất hiện hằng đẳng thức)

$⇔ aleft(x+frac{b}{2a}right)^2 -frac{b^2}{4a}+c=0$ (biến đổi hằng đẳng thức)

$Leftrightarrow a left ( x + frac{b}{2a} right )^2= frac{b^2}{4a}-c$ (chuyển vế)

$Leftrightarrow a left ( x + frac{b}{2a} right )^2= frac{b^2-4ac}{4a}$ (quy đồng mẫu thức)

$Leftrightarrow 4a^2.left ( x + frac{b}{2a} right )^2 = b^2-4ac$ (1) (nhân chéo do a ≠ 0)

Vế phải của phương trình (1) chính là $triangle$ mà chúng ta vẫn hay tính khi giải phương trình bậc hai. Vì 4a²> 0 với mọi a ≠ 0 và $left ( x+frac{b}{2a}right ) ^2 ge 0$ nên vế trái luôn dương. Do đó chúng ta mới phải biện luận nghiệm của b² – 4ac.

Biện luận nghiệm của biểu thức

+ Với b² – 4ac < 0, vì vế trái của phương trình (1) lớn hơn bằng 0, vế phải của phương trình (1) nhỏ hơn 0 nên phương trình (1) vô nghiệm.

+ Với b² – 4ac = 0, phương trình trên trở thành:

$4a^2left ( x+frac{b}{2a} right )^2=0 Leftrightarrow x=-frac{b}{2a}$

Phương trình đã cho có nghiệm kép $x_1=x_2=-frac{b}{2a}$ .

+ Với b² – 4ac > 0, phương trình trên trở thành:

$4a^2left ( x+frac{b}{2a} right ) ^2= b^2-4ac$

$Leftrightarrow {left[ {2aleft( {x + frac{b}{{2a}}} right)} right]^2} = {b^2} - 4ac Leftrightarrow left[ begin{array}{l} 2aleft( {x + frac{b}{{2a}}} right) = sqrt {{b^2} - 4ac} \ 2aleft( {x + frac{b}{{2a}}} right) = - sqrt {{b^2} - 4ac} end{array} right.$

$Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x + frac{b}{{2a}} = frac{{sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\ x + frac{b}{{2a}} = - frac{{sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = frac{{ - b + sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\ x = frac{{ - b - sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} end{array} right.$

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

$x_1 = frac{{ - b + sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$ và $x_2 = frac{{ - b - sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$

Trên đây là toàn bộ cách chứng minh công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Nhận thấy rằng b² – 4ac là mấu chốt của việc xét điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Nên các nhà toán học đã đặt ∆ = b² – 4ac nhằm giúp việc xét điều kiện có nghiệm trở nên dễ dàng hơn, đồng thời giảm thiểu việc sai sót khi tính toán nghiệm của phương trình.

5. Bảng tổng quát nghiệm của phương trình bậc 2

Phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0left( {a ne 0} right)$
Trường hợp nghiệm	Công thức nghiệm $Delta = {b^2} - 4ac$	Công thức nghiệm thu gọn (áp dụng khi hệ số $b$ chẵn) $Delta = b{'^2} - ac$ với $b$
Phương trình vô nghiệm	$Delta < 0$	$Delta ' < 0$
Phương trình có nghiệm kép	$Delta = 0$ . Phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = frac{{ - b}}{{2a}}$	$Delta ' = 0$ . Phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = frac{{ - b'}}{a}$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt	$Delta > 0$ . Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = frac{{ - b + sqrt Delta }}{{2a}};,,,{x_2} = frac{{ - b - sqrt Delta }}{{2a}}$	$Delta ' > 0$ . Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

6. Các dạng bài tập cách tính delta và delta phẩy

Bài 1: Xác định a, b’, c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:

$a) 4{x^2} + 4x + 1 = 0;$

$b$

Lời giải:

$a) 4{x^2} + 4x + 1 = 0$

Ta có: $a = 4, b' = 2, c = 1$

Suy ra $Delta' = {2^2} - 4.1 = 0$

Do đó phương trình có nghiệm kép:

${x_1} = {x_2} = dfrac{ - 2}{4} = - dfrac{1 }{ 2}.$

$b$

Ta có: $a = 13852, b' = - 7, c = 1$

Suy ra $Delta' = {( - 7)^2} - 13852.1 = - 13803 < 0$

Do đó phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Giải các phương trình dưới đây:

a, x² – 5x + 4 = 0	b, 6x² + x + 5 = 0
c, 16x² – 40x + 25 = 0	d, x² – 10x + 21 = 0
e, x² – 2x – 8 = 0	f, 4x² – 5x + 1 = 0
g, x² + 3x + 16 = 0	h, 2x² + 2x + 1 = 0

Khám Phá Thêm: Soạn bài Tự do Soạn văn 12 tập 1 tuần 14 (trang 170)

Nhận xét:đây là dạng toán điển hình trong chuỗi bài tập liên quan đến phương trình bậc hai, sử dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình bậc hai.

Lời giải:

a, x² – 5x + 4 = 0

(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)

Ta có: ∆ = b² – 4ac = (-5)² – 4.1.4 = 25 – 16 = 9 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=frac{-b+sqrt{Delta}}{2a}=frac{5+3}{2}=4$ và $x_2=frac{-b-sqrt{Delta}}{2a}=frac{5-3}{2}=1$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 4}

b, 6x² + x + 5 = 0

(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm)

Ta có: ∆ = b² – 4ac = 1² – 4.6.5 = 1 – 120 = – 119 < 0

Phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm.

c, 16x² – 40x + 25 = 0

(Học sinh tính được ∆ hoặc tính công thức nghiệm thu gọn ∆’ và nhận thấy ∆’ = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép)

Ta có: ∆’ = b’² – ac = (-20)² – 16.25 = 400 – 400 = 0

Phương trình đã cho có nghiệm kép: $x_1=x_2=frac{-b'}{a}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=left { frac{5}{4} right }$

d, x² – 10x + 21 = 0

(Học sinh tính được ∆ hoặc tính công thức nghiệm thu gọn ∆’ và nhận thấy ∆’ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)

Ta có: ∆’ = b’² – ac = (-5)² – 1.21 = 25 – 21 = 4 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=frac{-b'+sqrt{Delta'}}{a}=frac{-5+2}{1}=-3$ và $x_2=frac{-b'-sqrt{Delta'}}{a}=frac{-5-2}{1}=-7$

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-7; -3}

e, x² – 2x – 8 = 0

(Học sinh tính được ∆ hoặc tính công thức nghiệm thu gọn ∆’ và nhận thấy ∆’ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)

Ta có: ∆’ = b’² – ac = (-1)² – 1.(-8) = 1 + 8 = 9 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=frac{-b'+sqrt{Delta'}}{a} =frac{1+3}{1}=4$ và $x_2=frac{-b'-sqrt{Delta'}}{a}=frac{1-3}{1}=-2$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2; 4}

f, 4x² – 5x + 1 = 0

(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)

Ta có: ∆ = b² – 4ac = (-5)² – 4.4.1 = 25 – 16 = 9 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1=1$ và $x_2=frac{1}{4}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=left { frac{1}{4};1 right }$

g, x² + 3x + 16 = 0

(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm)

Ta có: ∆ = b² – 4ac = 3² – 4.1.16 = 9 – 64 = -55 < 0

Phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình vô nghiệm.

h, $2x^2+2x+1=0$

(Học sinh tính được ∆ hoặc tính công thức nghiệm thu gọn ∆’ và nhận thấy ∆’ < 0 nên phương trình đã cho có vô nghiệm)

Ta có: $Delta = {b'^2} - 4ac = {1^2} - 4.2.1 = 1 - 8 = - 7 < 0$

Phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 3: Cho phương trình $x^2-6x+m^2-4m=0$ (1)

a, Tìm m để phương trình có nghiệm x = 1

Khám Phá Thêm: Đề thi giữa học kì 1 môn Ngữ văn 9 năm 2024 - 2025 sách Chân trời sáng tạo Đề kiểm tra giữa kì 1 Văn 9 (Có ma trận, đáp án)

b, Tìm m để phương trình có nghiệm kép

c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Nhận xét: đây là một dạng toán giúp các bạn học sinh ôn tập được kiến thức về cách tính công thức nghiệm của phương trình bậc hai cũng như ghi nhớ được các trường hợp nghiệm của phương trình bậc hai.

Lời giải:

a, x = 1 là nghiệm của phương trình (1). Suy ra thay x = 1 vào phương trình (1) có:

$1^2-6.1+m^2-4m=0 Leftrightarrow m^2-4m-5=0$ (2)

Xét phương trình (2)

Có $Delta'=b'^2-ac=(-2)^2-1.(-5)=9>0$

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt $m_1=5$ và $m_2=-1$

Vậy với m = 5 hoặc m = -1 thì x = 1 là nghiệm của phương trình (1)

b, Xét phương trình (1) có:

$Delta'=b'^2-ac=(-3)^2-1.(m^2-4m)=-m^2+4m+9$

Để phương trình (1) có nghiệm kép khi và chỉ khi $Delta'=0$

$Leftrightarrow -m^2+4m+9=0$ (2)

Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình (2) có $m=2pm sqrt{13}$

Vậy với $m=2pmsqrt{13}$ thì phương trình (1) có nghiệm kép

c, Xét phương trình (1) có:

$Delta'=b'^2-ac=(-3)^2-1.(m^2-4m)=-m^2+4m+9$

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $Delta'>0$

$Leftrightarrow -m^2+4m+9>0$

$Leftrightarrow 2-sqrt{13} < m <2+ sqrt{13}$

Vậy với $2-sqrt{13} < m <2+ sqrt{13}$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

7. Bài tập tự luyện

Bài 1: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a, b:

(a+1) x² – 2 (a + b)x + (b- 1) = 0

Bài 2: Cho phương trình x² – 2(m+1)x + m² + m +1 = 0

Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm

Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x1, x2 hãy tính theo m

Bài 3: Giả sử phương trình bậc hai x² + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm dương. Chứng minh rằng a² + b² là một hợp số.

Bài 4: Cho phương trình (2m – 1)x² – 2(m + 4 )x +5m + 2 = 0 (m #½)

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.

Khi phương trình có nghiệm x1, x2, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.

Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.

Bài 5: Cho phương trình x² – 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 – x2 = 4.

Bài 6: Cho phương trình bậc hai: 2x² + (2m – 1)x +m – 1 =0

Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.

Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm đó.

Xác định m để phương trình có hai nghiệm phan biệt x₁, x₂ thỏa mãn -1 < x1 < x₂ < 1

Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂, hãy lập một hệ thức giữa x₁, x₂ không có m

Cảm ơn bạn đã xem bài viết Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2 Ôn thi vào lớp 10 môn Toán tại Thcslytutrongst.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.

1. Phương trình bậc hai một ẩn

2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

3. Hệ thức Viet

4. Tại sao phải tìm ∆?

5. Bảng tổng quát nghiệm của phương trình bậc 2

6. Các dạng bài tập cách tính delta và delta phẩy

7. Bài tập tự luyện

Bài Viết Liên Quan