Chia đa thức cho đa thức: Lý thuyết & bài tập Chia đa thức một biến đã sắp xếp lớp 8

Bạn đang xem bài viết Chia đa thức cho đa thức: Lý thuyết & bài tập Chia đa thức một biến đã sắp xếp lớp 8 tại Thcslytutrongst.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.

Chia đa thức cho đa thức là một trong những kiến thức quan trọng giúp các em học sinh lớp 8 giải được các dạng bài tập Đại số. Vậy cách chia đa thức cho đa thức như thế nào? Mời các em học sinh hãy cùng Thcslytutrongst.edu.vn theo dõi bài viết dưới đây nhé.

Chia đa thức cho đa thức gồm kiến thức lý thuyết, ví dụ minh họa kèm theo các dạng bài tập trắc nghiệm và tự luận chia đa thức cho đa thức. Thông qua tài liệu này giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi sắp tới. Vậy sau đây là nội dung chi tiết tài liệu Chia đa thức cho đa thức, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Mục Lục Bài Viết

I. Lý thuyết chia đa thức cho đa thức

Ta trình bày phép chia tương tự như cách chia các số tự nhiên. Với hai đa thức A và B của một biến, B ≠ 0 tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho:

A = B . Q + R, với R = 0 hoặc R≠ 0 có bậc bé hơn bậc của B

Khám Phá Thêm: Đọc: Bức tường có nhiều phép lạ - Tiếng Việt 4 Kết nối tri thức Tiếng Việt lớp 4 Kết nối tri thức tập 1 Bài 22

– Nếu R = 0, ta được phép chia hết.

Nếu R ≠ 0, ta được phép chia có dư.

Có thể dùng hằng đẳng thức để rút gọn phép chia

$Chia đa thức cho đa thức: Lý thuyết & bài tập Chia đa thức một biến đã sắp xếp lớp 8$

$(A^{3}-B^{3}):(A-B)=A^{2}+AB+B^{2}$

$(A^{2}-B^{2}):(A+B)=A-B$

II. Ví dụ chia đa thức cho đa thức

Ví dụ 1: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia:

$(125x^{3} + 1) : (5x + 1)$

$(x^{2} –2xy + y^{2}) : (y – x)$

Cách dẫn giải như sau

$(125x^{3} + 1) : (5x + 1) = [(5x)^{3} + 1] : (5x + 1) =(5x)^{2}-5x+1 = 25x^{2}-5x+1$

$(x^{2}-2xy+y^{2}) : (y-x) = (x-y)^{2}: [-(x-y)] =-(x-y)=y-x$

Hoặc $(x^{2}–2xy+y^{2}):(y-x) = (y^{2}-2xy+x^{2}) : (y-x)$

Ví dụ 2: Thực hiện phép chia đa thức $fleft( x right) = {x^4} - 2{x^3} - 3{x^2} + 7x - 2$ cho đa thức $x + 3$ .

Lời giải:

Lưu ý rằng: nếu chia cho đa thức $x + 3$ thì $alpha = 3$ , còn nếu chia cho đa thức $x + 3$ thì $alpha = - 3$

Dựa vào hướng dẫn trên ta sẽ có sơ đồ Hoocne như sau:

Đa thức $gleft( x right)$ tìm được ở đây chính là:

$gleft( x right) = 1.{x^3} + left( { - 5} right).{x^2} + 12.x + left( { - 29} right)$ và $r = 85$

Vậy khi chia đa thức $fleft( x right) = {x^4} - 2{x^3} - 3{x^2} + 7x - 2$ cho đa thức $x + 3$ ta được:

$fleft( x right) = left( {x + 3} right)left( {{x^3} - 5{x^2} + 12x - 29} right) + 85$

* Tuy nhiên không phải lúc nào bài toán cũng yêu cầu thực hiện phép chia đa thức bằng sơ đồ Hoocne. Vậy thì trong một số trường hợp sau đây ta có thể sử dụng sơ đồ:

+ Chia đa thức cho đa thức một cách nhanh nhất.

+ Tìm nghiệm của phương trình bậc 3, phương trình bậc 4, phương trình bậc cao.

+ Phân tích đa thức thành nhân tử (với những đa thức có bậc lớn hơn 2).

III. Cách chia đa thức cho đa thức nâng cao

Tìm thương và dư trong phép chia đa thức

– Phương pháp: từ điều kiện đề bài đã cho, đặt phép chia A:B được kết quả là thương Q và dư R.

Tìm điều kiện của m để đa thức A chia hết cho đa thức B

Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của n để biểu thức $4n^{3}-4n^{2}-n+4$ chia hết cho biểu thức 2n+1

Cách giải

Thực hiện phép chia $4n^{3}-4n^{2}-n+4$ cho 2n+1 ta được:

Khám Phá Thêm: Văn mẫu lớp 11: Nghị luận về câu Học thầy không tày học bạn (7 mẫu) Những bài văn hay lớp 11

$4n^{3}-4n^{2}-n+4=(2n+1)(n^{2}+1)+3$

Từ đó suy ra, để có phép chia hết điều kiện là 3 chia hết cho 2n+1, tức là cần tìm giá trị nguyên của n để 2n+1 là ước của 3, ta được:

$2n+1=3Leftrightarrow n=1$

$2n+1=1Leftrightarrow n=0$

$2n+1=-3Leftrightarrow n=-2$

$2n+1=-1Leftrightarrow n=-1$

Vây n = 1;n = 0; n = 2 thỏa mãn điều kiện đề bài.

Ứng dụng định lý Bezout khi giải

Ngoài ra còn có các dạng toán liên quan như: chia đa thức chứa tham số; chia đa thức với đa thức nguyên hàm.

IV. Bài tập chia đa thức cho đa thức lớp 8

A. Tự luận

Bài 1: Tính nhanh:

1. $(4x^{2}-9y^{2}) : (2x-3y)$

2. $(27x^{3}-1) : (3x-1)$

3. $(8x^{3}+1) : (4x^{2}-2x+1)$

4. $(x^{2}- 3x + xy -3y) : (x + y)$

Giải

1. $(4x^{2}-9y^{2}) : (2x-3y) = [(2x)^{2}–(3y)^{2}] : (2x-3y)=2x+3y$

2. $(27x^{3}-1) : (3x-1) = [(3x)^{3}-1] : (3x-1) = (3x)^{2} + 3x + 1 = 9x^{2} + 3x + 1$

3. $(8x^{3}+1):(4x^{2}–2x+1)=[(2x)^{3}+1]:(4x^{2}-2x+1)$

$=(2x+1)[(2x)^{2}–2x+1]:(4x^{2}–2x+1)$

$=( 2x+1)(4x^{2}–2x+1):(4x^{2}–2x+1)=2x+1$

4. $(x^{2}-3x + xy -3y) : (x + y) = [(x^{2}+ xy)-(3x+3y)] : (x + y)$

$= [x(x + y)-3(x + y)] : (x + y)$

$= (x + y) (x-3) : (x + y) = x-3$

Bài 2: Thực hiện phép chia:

a) $left(-3 x^{3}+5 x^{2}-9 x+15right):(-3 x+5)$

b) $left(5 x^{4}+9 x^{3}-2 x^{2}-4 x-8right):(x-1)$

c) $left(5 x^{3}+14 x^{2}+12 x+8right):(x+2);$

d) $left(x^{4}-2 x^{3}+2 x-1right):left(x^{2}-1right).$

Bài 3: Làm phép chia bằng cách áp dụng hằng đẳng thức:

a) $left(x^{8}-2 x^{4} y^{4}+y^{8}right):left(x^{2}+y^{2}right)$

b) $left(64 x^{3}+27right):left(16 x^{2}-12 x+9right)$

c) $left(x^{3}-9 x^{2}+27 x-27right):left(x^{2}-6 x+9right)$

d) $left(x^{3} y^{6} z^{9}-1right):left(x y^{2} z^{3}-1right).$

Bài 4: Sắp xếp các đa thức sau theo lũy thừa giảm của biến rồi làm phép chia:

a) $left(13 x+41 x^{2}+35 x^{3}-14right):(5 x-2) ;$

b) $left(16 x^{2}-22 x+15-6 x^{3}+x^{4}right):left(x^{2}-2 x+3right)$

c) $left(6 x+2 x^{3}-5-11 x^{2}right):left(-x+2 x^{2}+1right).$

Bài 5: Tìm m đề đa thức $3 x^{3}+2 x^{2}-7 x+m$ chia hết cho đa thức 3x-1

Bài 6 Tìm số dư trong phép chia đa thức $f(y)=y^{243}+y^{81}+y^{27}+y^{9}+y^{3}+y$ cho đa thức
$g(y)=y^{2}-1$

Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a, ${x^3} - 4{x^2} + x + 6$

b, ${x^3} - 5{x^2} - 2x + 24$

c, $2{x^4} - {x^3} - 17{x^2} + x + 15$

d, $3{x^4} + 5{x^3} - 5{x^2} - 5x + 2$

Bài 8: Thực hiện phép chia đa thức:

a, ${x^5} + 6{x^4} + 3{x^2} - 2x - 10$ cho $x + 8$

b, $2{x^7} - 8{x^5} + 3{x^3} - 9{x^2} - 10x + 1$ cho $x - 5$

c, ${x^4} + 12{x^2} - 25$ cho $2x + 5$

d, ${x^5} - 7{x^4} + 8{x^3} - 4{x^2} - 10x + 13$ cho $x + 1$

Bài 9: Giải các phương trình sau:

a, $2{x^4} - 5{x^3} + 6{x^2} - 5x + 2 = 0$

b, $left( {x + 2} right)left( {x - 3} right)left( {x + 4} right)left( {x - 6} right) + 6{x^2} = 0$

c, $left( {{x^2} + x + 2} right)left( {{x^2} + x + 3} right) = 6$

d, $2{x^4} - 21{x^3} + 34{x^2} + 105x + 50 = 0$

B. Trắc nghiệm

Bài 1: Kết quả của phép chia ( 7x³ – 7x + 42 ):( x² – 2x + 3 ) là ?

A. – 7x + 14
B. 7x + 14
C. 7x – 14
D. – 7x – 14

Bài 2: Phép chia x³ + x² – 4x + 7 cho x² – 2x + 5 được đa thức dư là ?

A. 3x – 7.
B. – 3x – 8.
C. – 15x + 7.
D. – 3x – 7.

Bài 3: Hệ số a thỏa mãn để 4x² – 6x + a chia hết có x – 3 là ?

Khám Phá Thêm: Mẫu bìa bài dự thi An toàn giao thông cho nụ cười ngày mai năm 2023 - 2024 Cuộc thi An toàn giao thông cho nụ cười ngày mai

A. a = – 18.
B. a = 8.
C. a = 18.
D. a = – 8.

Bài 4: Thực hiện phép chia: (4x⁴ + x + 2x³ – 3x²) : (x² + 1) ta được số dư là :

A. – x + 7
B. 4x² + 2x – 7
C. 4x² – 2x + 7
D. x – 7

Bài 5: Thực hiện phép chia (3x³ + 2x + 1 ) : (x + 2) ta được đa thức dư là :

A. 10
B. -9
C. – 15
D. – 27

Bài 6: Thực hiện phép chia (-4x⁴ + 5x² + x ) : (x² + x) ta được kết quả là:

A. – 4x⁴ + 5x² + x = (x² + x).(-4x² – 4x + 9) – 6x
B. – 4x⁴ + 5x² + x = (x² + x).(4x² + 4x + 9) + 12x
C. – 4x⁴ + 5x² + x = (x² + x).(-4x² + 4x + 9) – 8x
D. – 4x⁴ + 5x² + x = (x² + x). ( 4x² – 4x + 9) + 10x

Hiển thị đáp án

Bài 7: Cho phép chia: (x³ + 9x² + 27x + 27) : (x + 3). Tìm khẳng định sai?

A. Đây là phép chia hết
B. Thương của phép chia là: (x + 3)²C. Thương của phép chia là: x² + 6x + 9
D. Số dư của phép chia là: x – 3 .

Bài 8: Thực hiện phép chia: (x²y + 4xy + 3y ) : (x + 1) ta được thuơng là:

A. xy + 3
B. x + 3y
C. x + y + 3
D. y. (x + 3)

Bài 9: Tìm a để phép chia (x³ – 4x + a): (x – 2) là phép chia hết:

A. a = 0
B. a = 4
C. a = -8
D. a = 8

Cảm ơn bạn đã xem bài viết Chia đa thức cho đa thức: Lý thuyết & bài tập Chia đa thức một biến đã sắp xếp lớp 8 tại Thcslytutrongst.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.

I. Lý thuyết chia đa thức cho đa thức

II. Ví dụ chia đa thức cho đa thức

III. Cách chia đa thức cho đa thức nâng cao

IV. Bài tập chia đa thức cho đa thức lớp 8

Bài Viết Liên Quan