Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định Điểm cố định của hàm số

Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định là một trong những dạng toán trọng tâm thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi học kì môn Toán lớp 9.

Cách tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua tổng hợp toàn bộ kiến thức về cách tính kèm theo ví dụ minh họa. Thông qua tài liệu này giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi vào lớp 10 sắp tới. Vậy sau đây là Cách tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

I. Bài toán chứng tỏ đồ thị hàm số đi qua một điểm cố định với mọi m

+ Với một giá trị của tham số m ta được một đồ thị hàm số (d_m) tương ứng. Như vậy khi m thay đổi thì đồ thị hàm số (d_m) cũng thay đổi theo hai trường hợp:

– Hoặc mọi điểm của (d_m)đều di động

– Hoặc có một vài điểm của (d_m) đứng yên khi m thay đổi

+ Những điểm đứng yên khi m thay đổi gọi là điểm cố định của đồ thị hàm số (d_m). Đó là những điểm mà đồ thị hàm số đều đi qua với mọi giá trị của m

+ Phương trình ax + b = 0 nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi a = 0 và b = 0

II. Ví dụ về bài toán chứng tỏ đồ thị hàm số đi qua một điểm cố định

Bài 1: Chứng tỏ rằng với mọi m họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x – m luôn đi qua một điểm cố định.

Gợi ý đáp án

Gọi điểm M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua, sau đó tìm giá trị x₀ và y₀ thỏa mãn.

Gợi ý đáp án

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

⇔ y₀ = (m + 1)x₀ + 2x₀ – m với mọi m

⇔ y₀ = mx₀ + x₀ + 2x₀ – m với mọi m

⇔ y₀ – mx₀ – 3x₀ – m = 0 với mọi m

⇔ m(-x₀ – 1) + (y₀ – 3x₀) = 0 với mọi m

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x – m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(1; 3)

Bài 2: Cho hàm số y = (2m – 3)x + m – 1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m. Tìm điểm cố định ấy.

Gợi ý đáp án

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

y₀ = (2m – 3)x₀ + m – 1 với mọi m

⇔ y₀ = 2mx₀ – 3x₀ + m – 1 với mọi m

⇔ y₀ – 2mx₀ – 3x₀ + m – 1 = 0 với mọi m

⇔ m(-2x₀ + 1) + (y₀ – 3x₀ – 1) = 0 với mọi m

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x – m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ

Bài 3: Cho hàm số y = mx + 3m – 1. Tìm tọa độ của điểm mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m

Gợi ý đáp án

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

y₀ = mx₀ + 3m – 1 với mọi m

⇔ y₀ – mx₀ – 3m + 1 = 0 với mọi m

⇔ m(-x₀ – 3) + (y₀ + 1) = 0 với mọi m

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x – m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(-3; -1)

Bài 4: Cho hàm số y = (m – 1)x + 2020. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m

Gợi ý đáp án

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

y₀ = (m – 1)x₀ + 2020 với mọi m

⇔ y₀ – mx₀ – x₀ – 2020 = 0 với mọi m

⇔ -mx₀ + (y₀ – x₀ – 2020) = 0 với mọi m

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x – m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(0; 2020)