Công thức logarit, tính chất và các dạng toán logarit

Logarit hay Logarithm là chủ đề quan trọng trong chương trình toán học trung học phổ thông. Ghi nhớ logarit giúp giải các bài tập toán một cách chính xác. Bài học dưới đây sẽ cung cấp các thông tin quan trọng về logarit, tính chất, quy tắc và công thức logarit. Hãy cùng theo dõi bài học này giúp ôn tập kiến thức logarit cơ bản và nâng cao trong chương trình toán cấp 3.

Tính chất logarit

Logarit là một hàm logarit học, nó là một trong những phép toán cơ bản trong toán học và được sử dụng rất nhiều trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm toán học, khoa học tự nhiên, khoa học máy tính, và tài chính.

Tính chất của logarit là nó giúp chuyển đổi một tỷ lệ giữa hai số thành một số nguyên. Ví dụ, nếu ta có một số a và một số b, logarit của tỷ lệ a/b sẽ cho ta một số nguyên. Số này có thể được sử dụng để xác định mức độ tăng hoặc giảm của hai số đó so với nhau.

Công thức logarit

Công thức của logarit là:

loga(b) = x

trong đó:

• a là một số dương (base)
• b là một số dương (argument)
• x là một số nguyên (logarithm)

Công thức nói rằng logarit của b theo cơ sở a là x nếu và chỉ nếu a^x = b.

Ví dụ, nếu ta muốn tìm logarit của 100 theo cơ sở 10, ta có thể sử dụng công thức như sau:

10^x = 100 x = 2

Vậy logarit của 100 theo cơ sở 10 là 2.

Các công thức logarit

Có một số công thức quan trọng về logarit, bao gồm:

1. Quy tắc cộng: loga(b) + loga(c) = loga(bc)
2. Quy tắc nhân: loga(b) + loga(c) = loga(b * c)
3. Quy tắc chia: loga(b / c) = loga(b) – loga(c)
4. Quy tắc lũy thừa: loga(b^x) = x * loga(b)
5. Quy tắc đảo ngược: a^loga(b) = b
6. Quy tắc của logarit tự nhiên: log(b) = log(e) * ln(b), trong đó e là số euler.

Chú ý: Trong các công thức trên, a và b là các số dương, x là một số nguyên, và log là logarit tự nhiên.

Công thức đạo hàm logarit

Đạo hàm logarit của một hàm số y = f(x) tại một điểm a là đạo hàm của hàm logarit của f(x) tại điểm a.

Công thức cụ thể của đạo hàm logarithm là:

d/dx (log(f(x))) = f'(x) / f(x)

Trong đó, log là logarithm với gốc mặc định là e, và f'(x) là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x.

Công thức mũ logarit

Mũ logarithm là một hàm liên quan đến logarithm cơ bản. Nó cung cấp một cách để tính giá trị của một logarithm với gốc bất kỳ.

Công thức chung của mũ logarithm là:

a^b = log_a(b)

Trong đó, a là gốc của logarithm và b là số cần tính logarithm.

Ví dụ, nếu muốn tính logarithm của số 8 với gốc 2, ta có thể sử dụng công thức mũ logarithm như sau:

2^x = 8

Tìm x ta có x = 3. Qua đó, logarithm của 8 với gốc 2 là 3.

Logarit là gì?

Logarit viết tắt là Log là phép toán nghịch đảo của lũy thừa. Logarit một số là số mũ cơ số (giá trị cố định) nâng lên lũy thừa để tạo thành một số khác. Hay hiểu đơn giản hơn thì logarit là một phép nhân được lặp đi lặp lại.

Ai sáng tạo ra thuật toán Logarit? John Napier nhà toán học, vật lý, chiêm tinh học là người phát minh ra logarit.

Tính chất của logarit

Tính chất 1:

Logarit 2 số x và y nhân với nhau chia thành 2 logarit riêng biệt bằng phép cộng.

Tính chất 2:

Logarit của 2 số x và y chia cho nhau chia thành 2 logarit bằng phép trừ. Logarit cơ số x sẽ trừ đi logarit cơ số y.

Tính chất 3:

Nếu đối số x của logarit có số mũ r thì số mũ sẽ trở thành số chia cho logarit.

Tính chất 4:

Tính chất 5:

Nếu đối số bằng 1 thì kết quả logarit luôn bằng 0. Tính chất chính xác với bất kỳ số nào có số mũ bằng 0 sẽ bằng 1.

Tính chất 6:

Tính chất còn gọi là biến đổi cơ số. Mỗi logarit chia cho một logarit khác nếu 2 logarit đều có cơ số giống nhau. Lgarit mới sẽ có đối số a của mẫu số biến đổi thành cơ số mới và đối số x tử số trở thành đối số mới.

Công thức logarit

Logarit của một tích

Công thức logarit một tích:

Điều kiện a, b, c đều là số dương và a # 1.

Qy tắc này dùng nhiều bởi các nhà toán học để thực hiện phép nhân hai số thông qua phép cộng logarit, bởi phép cộng dễ tính hơn phép nhân.

Để dùng bảng logarit, người ta đưa về logarit cơ số a = 10, gọi là logarit thập phân, logarit tự nhiên lấy hằng số e (~ 2,718) làm cơ số.

Logarit của lũy thừa

Với điều kiện mọi số α và a, trong đó b là số dương và với a # 1.

Ghi nhớ công thức logarit bằng hình ảnh:

Cách tìm logarit nhanh

Một vài mẹo giúp bạn tìm logarit nhanh và đơn giản đó là:

Chọn bảng đúng: các bảng logarit là logarit cơ số 10 hay logarit thập phân.

Tìm ô đúng: Giá trị ô được xác định ở giao điểm hàng dọc và hàng ngang.

Dễ tìm các số chính xác dựa vào các cột nhỏ bên phải bảng.

Tìm tiền tố trước 1 số thập phân: Bảng logarit giúp chúng ta thấy tiền tố trước một số thập phân.

Tìm phần nguyên. Dễ tìm hơn với logarit cơ số 10. Nếu muốn tìm phần nguyên hãy đếm các chữ số còn lại trong số thập phân và sau đó trừ một chữ số.

Các dạng toán dùng logarit giải

Dạng 1: Dùng định nghĩa và các quy tắc để tính logarit.

Dạng 2: Đưa về cùng cơ số

Dạng 3: Phương pháp đưa về phương trình tích

Cách giải logarit

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức logarit.

– Bước 1: Biến đổi biểu thức chứa logarit sử dụng tính chất của logarit.

– Bước 2: Tính toán dựa vào thứ tự phép tính.

+ Không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc n)  → nhân, chia  → cộng, trừ.

+ Nếu có ngoặc: làm trong ngoặc → lũy thừa (căn bậc n ) → nhân, chia → cộng, trừ.

Dạng 2: So sánh các biểu thức chứa logarit.

– Bước 1: Đưa các logarit quay về cùng cơ số.

– Bước 2: Dùng tính chất của logarit để đơn giản hóa biểu thức.

– Bước 3: So sánh biểu thức, vẫn áp dụng tính chất so sánh logarit.

Tính logarit trên máy tính cầm tay

Ngoài cách tính thông thường, chúng ta có thể tính logarit trên máy tính cầm tay. Máy tính CASIO fx570 VN Plus máy tính thế hệ máy mới, thông minh hơn dòng máy tính Casio fx 570ES PLUS giúp giải các bài toán khó.

Ngoài ra còn có máy tính Casio fx570MS còn có thể giải các phương trình bậc 2, bậc 3, đa phương trình cao cấp, đạo hàm, lượng giác,… giải các bài toán logarit cơ bản.

Như vậy chúng tôi vừa gửi đến các bạn học sinh về công thức logarit, tính chất và phương pháp giải các dạng toán logarit thường gặp nhất. Logarit là kiến thức quan trọng trong chương trình toán cấp 3 và xuất hiện nhiều không chỉ trong các bài tập, kiểm tra mà còn trong các kỳ thi quan trọng.

Xem thêm: Các công thức lượng giác

Chúc các bạn học tốt môn Toán!