Giải bài toán bằng cách lập phương trình Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình

Giải bài toán bằng cách lập phương trình là tài liệu vô cùng hữu ích cung cấp cho học sinh lớp 8, lớp 9tư liệuhọc tập, bồi dưỡng và nâng cao kiến thức môn toán theo chương trình hiện hành.

Giải toán bằng cách lập phương trình tổng hợp toàn bộ kiến thức về phương pháp giải, ví dụ minh họa kèm theo các bài tập có đáp án giải chi tiết và bài tập tự luyện. Hi vọng qua tài liệu này các em sẽ vận dụng kiến thức của mình để làm bài tập, rèn luyện linh hoạt cách giải các dạng đề để đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi học sinh giỏi. Bên cạnh đó các bạn xem thêm tài liệu: bài tập về hằng đẳng thức, Bài tập các trường hợp đồng dạng của tam giác.

I. Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

+ Bước 1: Lập phương trình

– Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

– Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

+ Bước 2: Giải phương trình

+ Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

2. Một số lưu ý về chọn ẩn và điều kiện thích hợp của ẩn:

+ Thông thường thì bài toán hỏi về đại lượng gì thì chọn ẩn là đại lượng đó

+ Nếu x biểu thị là một chữ số thì

+ Nếu x biểu thị tuổi, sản phẩm, người thì x mang giá trị nguyên dương

+ Nếu x biểu thị vận tốc của chuyển động thi x > 0

II. Ví dụ giải bài toán bằng cách lập phương trình

Ví dụ 1: 

Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì được phân số mới bằng . Tìm phân số ban đầu.

Gợi ý đáp án 

Gọi x là tử số của phân số ( )

Vì mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là (3) đơn vị nên mẫu số của phân số là x + 3.

Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì ta được phân số lúc sau là

Vì phân số mới bằng nên ta có phương trình :

Mẫu số của phân số cần tìm là: x+3=1+3=4

Vậy phân số lúc đầu là:

Ví dụ 2

Học kì một, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng số học sinh cả lớp. Sang học kì hai, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số học sinh giỏi bằng 20% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh?

Gợi ý đáp án 

Gọi x là số học sinh cả lớp 8A (điều kiện x nguyên dương)

Số học sinh giỏi trong học kì I là: (học sinh)

Số học sinh giỏi trong học kì II là: (học sinh)

Vì số học sinh giỏi trong học kì II bằng số học sinh cả lớp nên ta có phương trình:

Vậy số học sinh của lớp 8A là 40 học sinh.

Ví dụ 3:

Lúc 6 giờ sáng, một xe máy khởi hành từ A để đến B. Sau đó 1 giờ, một ô tô cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy 20km/h. Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 9 giờ 30 phút sáng cùng ngày. Tính độ dài quãng đường AB và vận tốc trung bình của xe máy.

Gợi ý đáp án 

Gọi x (km) là quãng đường AB (x > 0).

Thời gian chuyển động từ A đến B của xe máy:

9 giờ 30 phút – 6 giờ = 3 giờ 30 phút (giờ)

Vận tốc của xe máy là: (km/h)

Ô tô xuất phát sau xe máy 1 giờ và đến B cùng lúc với xe máy 9 giờ 30 phút nên thời gian chuyển động từ A đến B của ô tô là: (giờ)

Vận tốc của ô tô là: (km/h)

Vì vận tốc của ô tô hơn xe máy 20km/h nên ta có phương trình:

⇔ 14x – 10x = 700

⇔ 4x = 700

⇔ x = 175 (thỏa mãn)

Vậy quãng đường AB dài 175 km.

Vận tốc trung bình của xe máy: (km/h).

Ví dụ 4

Chị Linh làm việc trong một ngân hàng và được thưởng Tết bằng 2,5 tháng lương. Tổng thu nhập một năm của chị Linh bao gồm lương 12 tháng và thưởng Tết là 290 triệu đồng. Hỏi lương hằng tháng của chị Linh là bao nhiêu

Lời giải:

Gọi x (triệu đồng) là lương hằng tháng của chị Linh ()

Khi đó, thưởng tết của chị Linh là:

Lương 12 tháng của chị Linh là:

Theo đề bài, ta có phương trình:

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy lương hàng tháng của chị Linh là 20 triệu đồng.

Ví dụ 5

Bác Hưng đầu tư 300 triệu đồng vào hai khoản: mua trái phiếu doanh nghiệp với lãi suất 8% một năm và gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 6% một năm. Cuối năm bác Hưng nhận được 22 triệu đồng tiền lãi. Hỏi bác Hưng đã đầu tư vào mỗi khoản bao nhiêu tiền?

Lời giải:

Gọi số tiền bác Hưng dùng để mua trái phiếu doanh nghiệp là (triệu đồng)

Điều kiện:

Khi đó số tiên bác Hưng dùng để mua trái phiếu doanh nghiệp là: (triệu đồng)

Số tiền lãi bác Hưng thu được từ trái phiếu doanh nghiệp là (triệu đồng) và số tiền lãi thu được từ gửi tiết kiệm ngân hàng là (triệu đồng)

Theo đề bài, ta có pt:

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy bác Hưng dùng 200 triệu để mua trái phiếu và dùng 100 triệu để gửi tiết kiệm ngân hàng.

Ví dụ 6

Nhân dịp khai trương, một siêu thị điện máy đã giảm giá nhiều mặt hàng để thu hút khách hàng. Tổng giá niêm yết của một chiếc ti vi loại A và một chiếc tủ lạnh loại B là 36.8 triệu đồng. Trong dịp này tivi loại A được giảm 30% và tủ lạnh loại B được giảm 25% nên bác Cường đã mua một chiếc tivi và một chiếc tủ lạnh nói trên với tổng số tiền là 26,805 triệu đồng. Hỏi giá niêm yết của một chiếc tivi loại A và mỗi chiếc tủ lạnh loại B là bao nhiêu

Lời giải:

Gọi giá của chiếc ti vi loại A là x ( 0<x<36,8)

Khi đó, giá của tủ lạnh loại B là:

Giá của chiếc tivi loại A khi được giảm 30% là: (triệu đồng)

Giá của tủ lạnh loại B khi được giảm 25% là: ===

Theo đề bài, ta có phương trình

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy giá niêm yết của tivi loại A là 15,9 triệu đồng

giá niêm yết của tủ lạnh loại B là: 20,9 triệu đồng.

Ví dụ 7

Bạn Nam đi xe đạp rời nhà lúc 14 giờ với vận tốc 12km/h. Khi Hùng đến nhà Nam vào lúc 14 giờ 10 phút thì mẹ Nam chỉ hướng đường đi của Nam cho Hùng và Hùng đi xe đạp đuổi theo với vận tốc 18km/h, Hỏi đến lúc mấy giờ thì Hùng đuổi kịp Nam

Lời giải:

Gọi thời gian di chuyển của Nam là: (giờ) ()

Khi đó, quãng đường Nam đi được là: (km)

Thời gian di chuyển của Hùng là: (giờ)

III. Bài tập về giải bài toán bằng cách lập phương trình

I. Bài tập trắc nghiệm:Khoanh vào chữ cái đặt trước câu trả lời đúng

Câu 1: Xe thứ nhất chở x người, xe thứ hai chở số người ít hơn xe thứ nhất là 8 người. Số người xe thứ hai chở tính theo x là:

A. x – 8	B. x + 8
C. 8x	D. 8: x

Câu 2: Hai xe khởi hành cùng một lúc, xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai 4 giờ. Nếu gọi thời gian đi của xe thứ nhất là x giờ thì thời gian đi của xe thứ hai là:

A. x + 4	B. x – 4
C. x : 4	D. 4x

Câu 3: Một xưởng dệt theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt 45 chiếc khăn. Trong thực tế, mỗi ngày xưởng dệt được 50 chiếc khăn nên đã hoàn thành trước thời hạn 6 ngày, ngoài ra còn làm thêm được 15 chiếc khăn nữa. Nếu gọi thời gian xưởng làm theo kế hoạch là x (ngày, x > 45) thì phương trình của bài toán là:

A. 45x + 50(x – 6) = 15	B. 45x – 50(x – 6) = 15
C. 50(x – 6) – 45x = 15	D. 45x – 50(x + 6) = 15

Câu 4: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B hết 1h 20 phút và ngược dòng hết 2h30 phút. Biết vận tốc dòng nước là 3km/h. Vận tốc riêng của ca nô là:

A. km/h	B. km/h
C. km/h	D. km/h

Câu 5: Tổng của chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục của một số có hai chữ số là 10. Nếu đổi chỗ hai chữ số này cho nhau thì ta thu được số mới nhỏ hơn số cũ là 18 đơn vị. Tổng các chữ số của số đã cho là:

A. 8	B. 9
C. 10	D. 6

Câu 6: Một xe máy đi từ Lạng Sơn về Nam Định với vận tốc 42km/h rồi từ Nam Định về Lạng Sơn với vận tốc 36km/h, vì vậy thời gian lúc về nhiều hơn thời gian lúc đi 60 phút. Tính quãng đường từ Lạng Sơn đến Nam Định.

A. S = 165km	B. S = 252km
C. S = 348km	D. S = 180km

Câu 7: Hai rổ cam có tất cả 96 quả. Nếu chuyển 4 quả từ rổ thứ nhất sang rổ thứ 2 thì số quả cam trong rổ thứ nhất bằng 3/5 số quả cam trong rổ thứ 2. Hỏi lúc đầu mỗi rổ thứ nhất có bao nhiêu quả cam?

A. 40	B. 56
C. 60	D. 48

II. Bài tập tự luận

1. Dạng 1: Dạng toán chuyển động

Bài 1: Một người đi xe máy từ A đến B mất 6 giờ. Lúc về đi từ B đến A người đó đi với vận tốc nhanh hơn 4 km/h nên chỉ mất 5 giờ. Tính quãng đường AB?

Bài 2: Lúc 7 giờ sáng một ô tô xuất phát từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 60km/h. Cũng cùng thời gian ấy một xe máy xuất phát từ tỉnh B về tỉnh A với vận tốc 50 km/h. Biết hai tỉnh A và B cách nhau 220 km . Hỏi sau bao lâu 2 xe gặp nhau và gặp nhau lúc mấy giờ?

Bài 3: Lúc 7 giờ sáng một chiếc canô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 36km rồi ngay lập tức quay trở về A lúc 11giờ30 phút. Tính vận tốc của canô khi đi xuôi dòng. Biết rằng vận tốc của dòng nước là 6 km/h?

2. Dạng 2: Dạng toán năng suất

Bài 4: Một đội sản xuất dự định mỗi ngày làm được 48 chi tiết máy . Khi thực hiện mỗi ngày đội làm được 60 chi tiết máy. Vì vậy đội không những đã hoàn thành xong trước kế hoạch 2 ngày mà còn làm thêm được 25 chi tiết máy. Tính số chi tiết máy mà đội phải sản xuất theo kế hoạch?

Bài 5: Một hợp tác xã dự định trung bình mỗi tuần đánh được 20 tấn cá. Nhưng do vượt mức 6 tấn/tuần nên chẳng những hoàn thành kế hoạch sớm hơn 1 tuần mà còn vượt mức 10 tấn. Tính mức kế hoạch đã dự định?

Bài 6: Sau khi nhận kế hoạch của xí nghiệp ; một tổ sản xuất dự định mỗi ngày sản xuất 30 sản phẩm, nhưng khi thực hiện mỗi ngày tổ sản xuất dược 40 sản phẩm. Do đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 ngày và sản xuất thêm được 40 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?

3. Dạng 3: Dạng toán về quan hệ giữa các số

Bài 7: Một số có 2 chữ số. Biết rằng chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị. Nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau được chữ số mới nhỏ hơn chữ số cũ 18 đơn vị . Tìm số ban đầu?

Bài 8: Một số có 2 chữ số. Biết rằng chữ số hàng đơn vị gấp 3 lần chữ số hàng chục. Nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau được chữ số mới lớn hơn chữ số cũ 54 đơn vị. Tìm số ban đầu?

Bài 9: Cho một phân số có mẫu số lớn hơn tử số 11 đơn vị. Nếu tăng tử số thêm 3 đơn vị và giảm mẫu số 4 đơn vị thì giá trị phân số mới là 3/4 . Tìm phân số đã cho?

4. Dạng 4: Dạng toán làm chung công việc

Bài 10: Hai người công nhân cùng làm chung công việc trong 12 giờ thì xong. Nhưng chỉ làm được trong 4 giờ, người kia đi làm công việc khác, người thứ hai làm tiếp trong 10 giờ nữa thì xong . Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong công việc?

Bài 11: Hai người làm chung công việc trong 4 ngày thì xong. Nhưng chỉ làm được trong 2 ngày, người kia đi làm công việc khác, người thứ hai làm tiếp trong 6 ngày nữa thì xong. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong công việc?

Bài 12: Hai vòi nước cùng chảy vào cùng 1 bể thì 3 giờ 20 phút đầy bể. Người ta cho vòi 1 chảy trong 3 giờ và vòi 2 chảy trong 2 giờ thì được 4/5 bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy 1 mình chảy đầy bể?

5. Dạng 5: Các dạng toán thực tế

Bài 13: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 56 m. Nếu tăng chiều rộng thêm 4 m và giảm chiều dài thêm 4m thì diện tích tăng 8m vuông. Tính chiều dài và chiều rộng khu vườn?

Bài 14: Số học sinh khá của khối 8 bằng 5/2 số học học sinh giỏi. Nếu thêm số học sinh giỏi 10 bạn và số học sinh khá giảm đi 6 bạn, vì vậy số học sinh khá gấp 2 lần số học sinh giỏi. Tính số học sinh giỏi khối 8?

Bài 15: Năm nay , tuổi của anh gấp 3 lần tuổi của em . Sau 6 năm nữa tuổi của anh chỉ gấp đôi tuổi của em . Hỏi năm nay tuổi của anh và em là bao nhiêu tuổi?

Bài 16:Bài toán đố:

Một đàn em bé tắm bên sông

Ống nước làm phao nổi bềnh bồng

Hai chú một phao thừa bảy chiếc

Hai phao một chú bốn bé không

Biết ai giỏi tính xin chỉ giúp

Mấy chú? Mấy phao ở bến sông?

Bài 17: Tổng số học sinh khối 8 và khối 9 của một trường là 400 em, trong đó có 252 em là học sinh giỏi. Tính số học sinh của mỗi khối, biết rằng số học sinh giỏi khối 8 chiếm tỉ lệ 60% số học sinh khối 8, số học sinh giỏi khối 9 chiếm tỉ lệ 65% số học sinh khối 9.

IV. Đáp án bài tập giải toán bằng cách lập phương trình

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1	Câu 2	Câu 3	Câu 4	Câu 5	Câu 6	Câu 7
A	A	B	C	D	B	A

II. Bài tập tự luận

Bài 1: 120km

Bài 2: 2 giờ. Gặp nhau lúc 9 giờ

Bài 3: 24km/h

Bài 4: 1548 chi tiết máy

Bài 5: 120 tấn

Bài 6: 360 sản phẩm

Bài 7: 31

Bài 8: 39

Bài 9:

Bài 10: Người thứ nhất: 60 giờ; người thứ hai: 15 giờ

Bài 11: Người thứ nhất: 6 ngày, người thứ hai: 12 ngày

Bài 12: Vòi thứ nhất: 5 giờ, vòi thứ hai: 10 giờ

Bài 13: Chiều rộng 11m, chiều dài 17m

Bài 14: 52 học sinh

Bài 15: Em 6 tuổi và anh 18 tuổi

Bài 16: Có 10 bé và 12 chiếc phao

Bài 17: Khối 8 có 160 học sinh, Khối 9 có 240 học sinh.