Giải Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn Giải SGK Toán 9 Hình học Tập 1 (trang 76, 77)

Bạn đang xem bài viết Giải Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn Giải SGK Toán 9 Hình học Tập 1 (trang 76, 77) tại Thcslytutrongst.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.

Giải Toán lớp 9 trang 76, 77 tập 1 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi và 8 bài tập trong SGK bài 2 Tỉ số lượng giác của góc nhọn thuộc Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải Toán 9 Bài 2 tập 1 Tỉ số lượng giác của góc nhọn được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán. Giải Toán lớp 9 trang 76, 77 là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Mục Lục Bài Viết

Giải Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Trả lời câu hỏi trang 71, 73, 74 SGK Toán 9 tập 1
Giải bài tập toán 9 trang 76, 77 tập 1
Giải bài tập toán 9 trang 77 tập 1: Luyện tập
Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Trả lời câu hỏi trang 71, 73, 74 SGK Toán 9 tập 1

Câu hỏi 1

Xét tam giác ABC vuông tại A có ∠B = α. Chứng minh rằng

a. $Giải Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn Giải SGK Toán 9 Hình học Tập 1 (trang 76, 77)$

b. $alpha = {60^0} Leftrightarrow frac{{AC}}{{AB}} = sqrt 3$

Gợi ý đáp án

Tam giác ABC vuông tại A có ∠B = 45⁰ ⇒ΔABC vuông cân tại A

⇒AB = AC ⇒AB/AC = 1

Kẻ trung tuyến AD của tam giác vuông ABC

⇒ AD = BD = BC/2

Tam giác ABD có: AD = BD, ∠(ABD) = 60⁰

⇒ ΔABD là tam giác đều

⇒ AB = AD = BC/2 ⇒ BC = AB

Khám Phá Thêm: Chính tả bài Kì diệu rừng xanh trang 76 Tiếng Việt Lớp 5 tập 1 - Tuần 8

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A có:

AB² + AC² = BC²

⇔ AB² + AC² = 4 AB²

⇔ AC² = 3 AB² ⇔ AC = √3 AB

⇔ AC/AB = √3

Câu hỏi 2

Cho tam giác ABC vuông tại A có ∠C = β. Hãy viết các tỉ số lượng giác của góc β

Gợi ý đáp án

$begin{matrix} sin alpha = dfrac{{AB}}{{BC}} hfill \ cos alpha = dfrac{{AC}}{{BC}} hfill \ tan alpha = dfrac{{AB}}{{AC}} hfill \ cos alpha = dfrac{{AC}}{{AB}} hfill \ end{matrix}$

Câu hỏi 3

Hãy nêu cách dựng góc nhọn β theo hình 18 và chứng minh cách dựng đó là đúng.

Gợi ý đáp án

– Dựng đoạn OM trên trục Oy sao cho OM = 1

– Dựng đường tròn tâm M bán kính bằng 2, đường tròn giao với tia Ox tại N

– Khi đó góc MNO là góc cần dựng

Chứng minh:

Tam giác MON vuông tại O có: MO = 1; MN = 2

Khi đó:

sinβ = sin(MNO) = MO/MN = 1/2 = 0,5

Giải bài tập toán 9 trang 76, 77 tập 1

Bài 10

Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn 34^o rồi viết các tỉ số lượng giác của góc 34^o.

Gợi ý đáp án

ΔABC vuông tại A có góc C = 34^o.

Khi đó:

Tỉ số lượng giác của góc $widehat{B}=34^o$ là:

$sin 34^o=sin B=dfrac{AC}{BC}$

$cos 34^o=cos B=dfrac{AB}{BC}$

$tan 34^o=tan B=dfrac{AC}{AB}$

$cot 34^o=tan C=dfrac{AB}{AC}$

Bài 11

Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC = 0,9m, BC = 1,2m. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A.

Gợi ý đáp án

Xét $Delta{ABC}$ vuông tại C, áp dụng định lí Pytago, ta có:

$AB^2=CB^2+AC^2$

$Leftrightarrow AB^2=0,9^2+1,2^2 Leftrightarrow AB^2=0,81+1,44=2,25$

$Leftrightarrow AB=sqrt{2,25}=1,5m$

Vì $Delta{ABC}$ vuông tại C nên góc B và A là hai góc phụ nhau. Do vậy, ta có:

$sin A=cos B=dfrac{BC}{AB}=dfrac{1,2}{1,5}=dfrac{4}{5}$

$cos A=sin B=dfrac{AC}{AB} =dfrac{0,9}{1,5}=dfrac{3}{5}$

$tan A=cot B=dfrac{BC}{AC}=dfrac{1,2}{0,9}=dfrac{4}{3}$

$cot A=tan B=dfrac{AC}{BC}=dfrac{0,9}{1,2}=dfrac{3}{4}$

Nhận xét: Với hai góc phụ nhau, ta có sin góc này bằng cosin góc kia, tan góc này bằng cotan góc kia!

Bài 12

Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45^o: sin60^o, cos75^o, sin52^o30′, cotg82^o, tg80^o

Gợi ý đáp án

(Áp dụng tính chất lượng giác của hai góc phụ nhau.)

Vì 60^o + 30^o = 90^o nên sin60^o = cos30^o

Vì 75^o + 15^o = 90^o nên cos75^o = sin15^o

Vì 52^o30′ + 37^o30′ = 90^o nên sin 52^o30’= cos37^o30′

Vì 82^o + 8^o = 90^o nên cotg82^o = tg8^o

Vì 80^o + 10^o = 90^o nên tg80^o = cotg10^o

Giải bài tập toán 9 trang 77 tập 1: Luyện tập

Bài 13

Gợi ý đáp án

Dựng góc nhọn $alpha$ , biết:

$a. sinalpha =dfrac{2}{3}$

Ta thực hiện các bước sau:

– Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

Khám Phá Thêm: Bài thu hoạch Nghị quyết Trung ương 6 khóa XII cho giáo viên Bài thu hoạch Nghị quyết TW6 khóa 12 (13 mẫu)

– Trên tia Ox lấy điểm A bất kỳ sao cho: OA=2.

– Dùng compa dựng cung tròn tâm A, bán kính 3. Cung tròn này cắt Oy tại điểm B.

– Nối A với B. Góc OBA là góc cần dựng.

Thật vậy, xét $Delta{OAB}$ vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$sin alpha = sin widehat{OBA} = dfrac{OA}{AB}=dfrac{2}{3}.$

b. $cosalpha =0,6$

Ta có: $cos alpha =0,6 = dfrac{3}{5}$

– Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

– Trên tia Ox lấy điểm A bất kỳ sao cho OA=3.

– Dùng compa dựng cung tròn tâm A bán kính 5. Cung tròn này cắt tia Oy tại B.

– Nối A với B. Góc $widehat{OAB}=alpha$ là góc cần dựng.

Thật vậy, Xét $Delta{OAB}$ vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$cos alpha =cos widehat{OAB}=dfrac{OA}{AB}=dfrac{3}{5}=0,6.$

$c. tan alpha =dfrac{3}{4}$

– Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

– Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA=4.

Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB=3.

– Nối A với B. Góc $widehat{OAB}$ là góc cần dựng.

Thật vậy, xét $Delta{OAB}$ vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$tan alpha =tan widehat{OAB}=dfrac{OB}{OA}=dfrac{3}{4}.$

$d. cot alpha =dfrac{3}{2}$

– Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

– Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA=3.

Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB=2.

– Nối A với B. Góc $widehat{OAB}$ là góc cần dựng.

Thật vậy, xét $widehat{OAB}$ vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$cot alpha =cot widehat{OAB}=dfrac{OA}{OB}=dfrac{3}{2}.$

Bài 14

Sử dụng định nghĩa tỉ số các lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn $alpha$ tùy ý, ta có:

a) $tan alpha =dfrac{sinalpha }{cos alpha}; cot alpha =dfrac{cos alpha }{sin alpha }; tan alpha . cot alpha =1;$

$b) sin^{2} alpha +cos^{2} alpha =1$

Gợi ý đáp án

Xét $Delta{ABC}$ vuông tại A, có $widehat{ACB}=alpha.$

+) $Delta{ABC},$ vuông tại A, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$sin alpha = dfrac{AB}{BC}, cos alpha =dfrac{AC}{BC}$

$tan alpha =dfrac{AB}{AC}, cot alpha =dfrac{AC}{AB}.$

* Chứng minh $tan alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha}.$

$VP=dfrac{sin alpha}{cos alpha}=dfrac{AB}{BC} : dfrac{AC}{BC}=dfrac{AB}{BC}.dfrac{BC}{AC}$

$=dfrac{AB.BC}{BC.AC}=dfrac{AB}{AC}= tan alpha =VT$

(Trong đó VT là vế trái của đẳng thức; VP là vế phải của đẳng thức)

* Chứng minh $cot alpha =dfrac{cos alpha}{sin alpha}.$

$VP=dfrac{cos alpha}{sin alpha}=dfrac{AC}{BC} : dfrac{AB}{BC}=dfrac{AC}{BC}. dfrac{BC}{AB}$

$=dfrac{AC.BC}{BC.AB}=dfrac{AC}{AB}=cot alpha=VT$

* Chứng minh $tan alpha . cot alpha =1.$

Ta có: $VT=tan alpha . cot alpha$

$= dfrac{AB}{AC}.dfrac{AC}{AB}=dfrac{AB.AC}{AC.AB}=1=VP$

b) $Delta{ABC}$ vuông tại A, áp dụng định lí Pytago, ta được:

$BC^2=AC^2+AB^2 (1)$

Xét $sin ^{2} alpha +cos^{2}alpha$

$;;;={left(dfrac{AB}{BC} right)^2}+ {left(dfrac{AC}{BC} right)^2}= dfrac{AB^{2}}{BC^{2}}+dfrac{AC^{2}}{BC^{2}}$

$;;;=dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2} (2)$

Thay (1) vào (2) ta được:

$displaystyle {{A{B^2} + A{C^2}} over {B{C^2}}} = {{B{C^2}} over {B{C^2}}} = 1$

Như vậy $sin^{2} alpha +cos^{2} alpha =1$ (điều phải chứng minh)

Nhận xét: Ba hệ thức:

$tan alpha =dfrac{sin alpha }{cos alpha }; cot alpha =dfrac{cos alpha }{sin alpha }$ và $sin^{2} alpha +cos^{2} alpha =1$ là những hệ thức cơ bản bạn cần nhớ để giải một số bài tập khác.

Bài 15

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ . Biết $\cos B = 0, 8$ , hãy tính các tỉ số lượng giác của góc $C$ .

Gợi ý: Sử dụng bài tập 14.

Khám Phá Thêm: Đáp án thi Tìm hiểu cải cách hành chính tỉnh Hòa Bình 2023 Cuộc thi tìm hiểu công tác cải cách hành chính trong cán bộ, công chức, viên chức

Gợi ý đáp án

Xét tam giác ABC vuông tại A nên góc C nhọn. Vì thế:

$sin C>0; cos C>0; tan C>0; cot C>0$

Vì hai góc B và C phụ nhau $Rightarrow sin C = cos B = 0,8$

Áp dụng công thức bài 14, ta có:

$sin^{2}C+cos^{2}C=1 Leftrightarrow cos^{2}C=1-sin^{2}C$

$Leftrightarrow cos^2 C =1-(0,8)^{2} Leftrightarrow cos^2 C =0,36 Rightarrow cos C = sqrt{0,36}=0,6$

Lại có:

$tan C=dfrac{sin C}{cos C}=dfrac{0,8}{0,6}=dfrac{4}{3};$

$tan C .cot C=1 Leftrightarrow cot C= dfrac{1}{tan C}=dfrac{3}{4}$

Nhận xét: Nếu biết $sin alpha (hay cos alpha)$ thì ta có thể tính được ba tỷ số lượng giác còn lại.

Bài 16

Cho tam giác vuông có một góc 60^o và cạnh huyền có độ dài là 8. Hãy tìm độ dài của cạnh đối diện với góc 60^o.

Gợi ý đáp án

Xét $Delta{ABC}$ vuông tại A có $widehat B=60^0$ , theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$sin B = dfrac{AC}{BC} Leftrightarrow sin 60^o = dfrac{AC}{8}$

$Leftrightarrow AC =8. sin 60^o=8.dfrac{sqrt 3}{2}=4sqrt 3.$

Vậy cạnh đối diện với góc $60^o$ là $AC=4sqrt 3.$

Bài 17

Tìm x trong hình 23.

Gợi ý đáp án

Kí hiệu như hình trên.

Ta có tam giác ABH là vuông cân (vì ∠B = 45^o) nên AH = 20.

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông AHC có:

x² = AH² + HC² = 20² + 21² = 841

=> x = √841 = 29

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Định nghĩa Tỉ số lượng giác của góc nhọn

$sin alpha = dfrac{{cạnh,đối}}{{cạnh,huyền}} = dfrac{{AB}}{{BC}};cos alpha = dfrac{{cạnh,kề}}{{cạnh,huyền}} = dfrac{{AC}}{{BC}}$

$tan alpha = dfrac{{cạnh, đối}}{{cạnh,kề}} = dfrac{{AB}}{{AC}};cot alpha = dfrac{{cạnh,kề}}{{cạnh,đối}} = dfrac{{AC}}{{AB}}$

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính Tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính góc

Phương pháp:

Sử dụng các Tỉ số lượng giác của góc nhọn, định lý Py-ta-go, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán các yếu tố cần thiết.

Dạng 2: So sánh các tỉ số lượng giác giữa các góc

Phương pháp:

Bước 1 : Đưa các tỉ số lượng giác về cùng loại (sử dụng tính chất “Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia”)

Bước 2: Với góc nhọn $alpha ,,beta$ ta có: $sin alpha < sin beta Leftrightarrow alpha < beta ;cos alpha < cos beta Leftrightarrow alpha > beta ;$

$tan alpha < tan beta Leftrightarrow alpha < beta ;cot alpha < cot beta Leftrightarrow alpha > beta .$

Dạng 3: Rút gọn, tính giá trị biểu thức lượng giác

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các kiến thức

+ Nếu $alpha$ là một góc nhọn bất kỳ thì

$0 < sin alpha < 1;0 < cos alpha < 1, tan alpha > 0;cot alpha > 0 , {sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1;tan alpha .cot alpha = 1$

$tan alpha = dfrac{{sin alpha }}{{cos alpha }};cot alpha = dfrac{{cos alpha }}{{sin alpha }};$

$1 + {tan ^2}alpha = dfrac{1}{{{{cos }^2}alpha }};1 + {cot ^2}alpha = dfrac{1}{{{{sin }^2}alpha }}$

+ Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Cảm ơn bạn đã xem bài viết Giải Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn Giải SGK Toán 9 Hình học Tập 1 (trang 76, 77) tại Thcslytutrongst.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.

Giải Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Trả lời câu hỏi trang 71, 73, 74 SGK Toán 9 tập 1

Câu hỏi 1

Câu hỏi 2

Câu hỏi 3

Giải bài tập toán 9 trang 76, 77 tập 1

Bài 10

Bài 11

Bài 12

Giải bài tập toán 9 trang 77 tập 1: Luyện tập

Bài 13

Bài 14

Bài 15

Bài 16

Bài 17

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài Viết Liên Quan