Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9 Ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9

Bạn đang xem bài viết Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9 Ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 tại Thcslytutrongst.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.

Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9 là một trong những kiến thức quan trọng giúp các em học sinh lớp 9 giải được các dạng bài tập Đại số. Vậy các phương pháp nào giải phương trình vô tỉ, mời các em học sinh hãy cùng Thcslytutrongst.edu.vn theo dõi bài viết dưới đây nhé.

Cách giải phương trình vô tỉ bao gồm 6 phương pháp giải, trong mỗi phương pháp bao gồm kiến thức lý thuyết, ví dụ minh họa kèm theo một số bài tập có đáp án. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi sắp tới. Bên cạnh đó các bạn xem thêm công thức tính chu vi hình chữ nhật, công thức tính diện tích hình vuông.

Mục Lục Bài Viết

I. Phương pháp 1: Nâng lũy thừa

A. Lí thuyết

$Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9 Ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9$

$2/ sqrt{f(x)}=g(x) Leftrightarrowleft{begin{array}{l}g(x) geq 0 \ f(x)=g^{2}(x)end{array}right.$

$3/ sqrt{f(x)}+sqrt{g(x)}=sqrt{h(x)} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}f(x) geq 0 \ g(x) geq 0 \ f(x)+g(x)+2 sqrt{f(x) cdot g(x)}=h(x)end{array}right.$

$4 / sqrt[2 n]{f(x)}=sqrt[2 n]{g(x)} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}f(x) geq 0 \ g(x) geq 0 \ f(x)=g(x)end{array} quadleft(n in N^{*}right)right.$

$5/ sqrt[2 n]{f(x)}=g(x) Leftrightarrowleft{begin{array}{l}g(x) geq 0 \ f(x)=g^{2 n}(x)end{array} quadleft(n in N^{*}right)right.$

B. Bài tập

Bài 1: Giải phương trình: $sqrt{x+1}=x-1 (1)$

$HD: (1) Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x-1 geq 0 \ x+1=(x-1)^{2}end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x geq 1 \ x^{2}-3 x=0end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x geq 1 \ x=3end{array} Leftrightarrow x=3right.right.right.$

Bài 2: Giải phương trình: $x-sqrt{2 x+3}=0$

Bài 3: Giải phương trình: $sqrt{x+4}-sqrt{1-x}=sqrt{1-2 x}$

$HD: Ta có: sqrt{x+4}-sqrt{1-x}=sqrt{1-2 x} Leftrightarrow sqrt{x+4}=sqrt{1-2 x}+sqrt{1-x}$

$Leftrightarrowleft{begin{array}{l}1-2 x geq 0 \ 1-x geq 0 \ x+4=1-2 x+1-x+2 sqrt{(1-2 x)(1-x)}end{array}right.$

$Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x leq frac{1}{2} \ 2 x+1=sqrt{2 x^{2}-3 x+1}end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x leq frac{1}{2} \ 2 x+1 geq 0 \ (2 x+1)^{2}=2 x^{2}-3 x+1end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}frac{-1}{2} leq x leq frac{1}{2} \ x^{2}+7 x=0end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}frac{-1}{2} leq x leq frac{1}{2} \ {left[begin{array}{l}x=0 \ x=-7end{array} Leftrightarrow x=0right.}end{array}right.right.right.right.$

Bài 4: Giải phương trình: $sqrt{x-2}-3 sqrt{x^{2}-4}=0$

Khám Phá Thêm: Lịch sử 8 Bài 10: Công xã Pa-ri năm 1871 Soạn Sử 8 trang 48 sách Chân trời sáng tạo

HD: ĐK: $left{begin{array}{l}x-2 geq 0 \ x^{2}-4 geq 0end{array} Leftrightarrow x geq 2(1)right.$

$Leftrightarrow sqrt{x-2}-3 sqrt{(x-2)(x+2)}=0$

$Leftrightarrowleft[begin{array} { l } { sqrt { x - 2 } = 0 } \ { ( 1 - 3 sqrt { x + 2 } ) = 0 } end{array} Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=2 \ x=frac{-17}{9} end{array}right.right.$

Kết hợp (1) và (2) ta được: $mathrm{x}=2$

Bài 5. Giải phương trình : $sqrt{sqrt{3}-x}=x sqrt{sqrt{3}+x}$

HD:Đk: $0 leq x leq sqrt{3}$ khi đó pt đã cho tương đương:

$x^{3}+sqrt{3} x^{2}+x-sqrt{3}=0 Leftrightarrowleft(x+frac{1}{sqrt{3}}right)^{3}=frac{10}{3 sqrt{3}} Leftrightarrow x=frac{sqrt[3]{10}-1}{sqrt{3}}$
Bài 6. Giải phương trình sau : $2 sqrt{x+3}=9 x^{2}-x-4$

HD:Đk: $x geq-3$ phương trình tương đương :

$(1+sqrt{3+x})^{2}=9 x^{2} Leftrightarrowleft[begin{array} { l } { sqrt { x + 3 } + 1 = 3 x } \ { sqrt { x + 3 } + 1 = - 3 x } end{array} Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=1 \ x=frac{-5-sqrt{97}}{18} end{array}right.right.$

Bài 7. Giải phương trình sau : $2+3 sqrt[3]{9 x^{2}(x+2)}=2 x+3 sqrt[3]{3 x(x+2)^{2}}$

HD: $mathrm{pt} Leftrightarrow(sqrt[3]{x+2}-sqrt[3]{3 x})^{3}=0 Leftrightarrow x=1$

Bài 8. Giải và biện luận phương trình: $sqrt{mathrm{x}^{2}-4}=mathrm{x}-mathrm{m}$

………..

II. Phương pháp 2: Đưa về phương trình tuyệt đối

A,. Kiến thức

Sử dụng hằng đẳng thức sau

$sqrt{f^{2}(x)}=g(x) Leftrightarrow|f(x)|=g(x) Leftrightarrow begin{cases}f(x)=g(x) & (f(x) geq 0) \ f(x)=-g(x) & (f(x)<0)end{cases}$

B. Bài tập

Bài 1: Giải phương trình: $sqrt{mathrm{x}^{2}-4 mathrm{x}+4}+mathrm{x}=8(1)$

$underline{mathrm{HD}}:(1) Leftrightarrow sqrt{(mathrm{x}-2)^{2}}=8-mathrm{x} quad Leftrightarrow|mathrm{x}-2|=8-mathrm{x}$

– Nếu x<2:(1) $Rightarrow$ 2-x=8-x (vô nghiệm)

– Nếu $mathrm{x} geq 2:(1) Rightarrow mathrm{x}-2=8-mathrm{x} Leftrightarrow mathrm{x}=5 (thoả mãn) Vậy: mathrm{x}=5$

Bài 2: Giải phương trình

$sqrt{x+2+2 sqrt{x+1}}+sqrt{x+10-6 sqrt{x+1}}=2 sqrt{x+2-2 sqrt{x+1}} (2)$

$underline{H D}:(2) Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x+1 geq 0 \ sqrt{x+1+2 sqrt{x+1}+1}+sqrt{x+1-2.3 sqrt{x+1}+9}=2 sqrt{x+1-2 sqrt{x+1}+1}end{array}right.$

$Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x geq-1 \ sqrt{x+1}+1+|sqrt{x+1}-3|=2|sqrt{x+1}-1|end{array}right.$

Đặt $mathrm{y}=sqrt{mathrm{x}+1}(mathrm{y} geq 0) Rightarrow$ phương trình left({ }^{*}right) đã cho trở thành: $mathrm{y}+1+|mathrm{y}-3|=2|mathrm{y}-1|$

– Nếu $0 leq mathrm{y}<1: mathrm{y}+1+3-mathrm{y}=2-2 mathrm{y} Leftrightarrow mathrm{y}=-1 (loại)$

– Nếu $1 leq mathrm{y} leq 3: mathrm{y}+1+3-mathrm{y}=2 mathrm{y}-2 Leftrightarrow mathrm{y}=3$

– Nếu $mathrm{y}>3: mathrm{y}+1+mathrm{y}-3=2 mathrm{y}-2$ (vô nghiệm)

Với $mathrm{y}=3 Leftrightarrow mathrm{x}+1=9 Leftrightarrow mathrm{x}=8$ (thoả mãn)

Vậy: $mathrm{x}=8$

Bài 3: Giải phương trình: $sqrt{x-2+sqrt{2 x-5}}+sqrt{x+2+3 sqrt{2 x-5}}=7 sqrt{2}$

$mathrm{HD}: Ð mathrm{~K}: x geq frac{5}{2} mathrm{PT} Leftrightarrow sqrt{2 x-5+2 sqrt{2 x-5}+1}+sqrt{2 x-5+6 sqrt{2 x-5}+9}=14$

$Leftrightarrow|sqrt{2 x-5}+1|+|sqrt{2 x-5}+3|=14 Leftrightarrow sqrt{2 x-5}=5 Leftrightarrow x=15 (Thoả mãn)$ Vậy: x=15

Bài 4: Giải phương trình: $sqrt{x+2 sqrt{x-1}}+sqrt{x-2 sqrt{x-1}}=2$

HD:ĐK: $x geq 1$

$mathrm{Pt} Leftrightarrow sqrt{x-1+2 sqrt{x-1}+1}+sqrt{x-1-2 sqrt{x-1}+1}=2 Leftrightarrow sqrt{x-1}+1+|sqrt{x-1}-1|=2$

Nếu $x>2 pt Leftrightarrow sqrt{x-1}+1+sqrt{x-1}-1=2 Leftrightarrow x=2 (Loại)$

Nếu $x leq 2 mathrm{pt} Leftrightarrow sqrt{x-1}+1+1-sqrt{x-1}=2 Leftrightarrow 0 x=0 (Luôn đúng với forall x)$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S={x in R mid 1 leq x leq 2}$

…………………

III. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ

1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường

Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ, để giải chúng ta có thể đặt t=f(x) và chú ý điều kiện của t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn”.

Bài 1. Giải phương trình: $sqrt{x-sqrt{x^{2}-1}}+sqrt{x+sqrt{x^{2}-1}}=2$

HD: Điều kiện: $x geq 1$

Nhận xét. $sqrt{x-sqrt{x^{2}-1}} cdot sqrt{x+sqrt{x^{2}-1}}=1$

Đặt $t=sqrt{x-sqrt{x^{2}-1}}$ thì phương trình có dạng: $t+frac{1}{t}=2 Leftrightarrow t=1$ . Thay vào tìm được x=1 $x=1-sqrt{2} và x=2+sqrt{3}$

Bài 2. Giải phương trình: $2 x^{2}-6 x-1=sqrt{4 x+5}$

HD: Điều kiện: $x geq-frac{4}{5}$

Đăt $t=sqrt{4 x+5}(t geq 0)$ thì $x=frac{t^{2}-5}{4}$ . Thay vào ta có phương trình sau:

$begin{aligned} 2 cdot frac{t^{4}-10 t^{2}+25}{16} &-frac{6}{4}left(t^{2}-5right)-1=t Leftrightarrow t^{4}-22 t^{2}-8 t+27=0 \ Leftrightarrow &left(t^{2}+2 t-7right)left(t^{2}-2 t-11right)=0 end{aligned}$

Ta tìm được bốn nghiệm là: $t_{1,2}=-1 pm 2 sqrt{2} ; t_{3,4}=1 pm 2 sqrt{3}$

Do $t geq 0$ nên chỉ nhận các giá trị $t_{1}=-1+2 sqrt{2}, t_{3}=1+2 sqrt{3}$

Khám Phá Thêm: Tiếng Anh lớp 4 Unit 5: Value Soạn Anh 4 trang 92 Explore Our World (Cánh diều)

Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình 1 : $x=1-sqrt{2} và x=2+sqrt{3}$

Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện $2 x^{2}-6 x-1 geq 0$

Ta được: $x^{2}(x-3)^{2}-(x-1)^{2}=0$ , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.

Đơn giản nhất là ta đặt : $2 y-3=sqrt{4 x+5}$ và đưa về hệ đối xứng (Xem phần đặt ẩn phụ đưa về hệ)

Bài 3. Giải phương trình sau: $x+sqrt{5+sqrt{x-1}}=6$

HD: Điều kiện: $1 leq x leq 6$

Đặt $y=sqrt{x-1}(y geq 0)$ thì phương trình trở thành:

$begin{aligned} &y^{2}+sqrt{y+5}=5 Leftrightarrow y^{4}-10 y^{2}-y+20=0 text { ( với } \ &y leq sqrt{5}) Leftrightarrowleft(y^{2}+y-4right)left(y^{2}-y-5right)=0 Leftrightarrow y=frac{1+sqrt{21}}{2}left(text { loại), } y=frac{-1+sqrt{17}}{2}right. end{aligned}$

Từ đó ta tìm được các giá trị của $x=frac{11-sqrt{17}}{2}$

Bài 4. Giải phương trình sau : $x=(2004+sqrt{x})(1-sqrt{1-sqrt{x}})^{2}$

HD: $mathrm{~K}: 0 leq x leq 1$

Đặt $y=sqrt{1-sqrt{x}}$ thì phương trình trở thành:

$2(1-y)^{2}left(y^{2}+y-1002right)=0 Leftrightarrow y=1 Leftrightarrow x=0$

Bài 5. Giải phương trình sau : $x^{2}+2 x sqrt{x-frac{1}{x}}=3 x+1$

HD:Điều kiện: $-1 leq x<0$

Chia cả hai vế cho x ta nhận được : $x+2 sqrt{x-frac{1}{x}}=3+frac{1}{x}$ . Đặt $t=x-frac{1}{x}$ , ta giải được.

Bài 6. Giải phương trình : $x^{2}+sqrt[3]{x^{4}-x^{2}}=2 x+1$

HD: x=0 không phải là nghiệm, Chia cả hai vế cho x ta được: $left(x-frac{1}{x}right)+sqrt[3]{x-frac{1}{x}}=2$

Đặt $mathrm{t}=sqrt[3]{x-frac{1}{x}}$ , Ta có : $t^{3}+t-2=0 Leftrightarrow t=1 Leftrightarrow x=frac{1 pm sqrt{5}}{2}$

Bài 7. Giải phương trình: $3 x^{2}+21 x+18+2 sqrt{x^{2}+7 x+7}=2$

HD: Đặt $y =sqrt{x^{2}+7 x+7} ; y geq 0$

Phương trình có dạng: $3 y^{2}+2 y-5=0 Leftrightarrowleft[begin{array}{l}y=frac{-5}{3} \ y=1end{array} Leftrightarrow y=1right.$

……………

Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết

Cảm ơn bạn đã xem bài viết Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9 Ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 tại Thcslytutrongst.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.

I. Phương pháp 1: Nâng lũy thừa

II. Phương pháp 2: Đưa về phương trình tuyệt đối

III. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ

Bài Viết Liên Quan