Tam giác cân: Khái niệm, tính chất, cách chứng minh và bài tập Diện tích tam giác cân

Bạn đang xem bài viết Tam giác cân: Khái niệm, tính chất, cách chứng minh và bài tập Diện tích tam giác cân tại Thcslytutrongst.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.

Tam giác cân là một loại tam giác có ít nhất hai cạnh bằng nhau và hai góc ở đáy cân bằng nhau. Vậy công thức tính diện tích tam giác cân như thế nào? Tính chất tam giác cân là gì? Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây của Thcslytutrongst.edu.vn.

Tam giác cân là một trong những kiến thức quan trọng trong hình học 7 và đặc biệt trong các bài tập liên quan tới hình tam giác. Hi vọng qua bài học hôm nay các bạn học sinh lớp 7 nắm vững khái niệm tam giác cân là gì, dấu hiệu nhận biết và một số tính chất liên quan kèm theo cách tính diện tích tam giác cân. Bên cạnh đó các bạn xem thêm tài liệu: tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Mục Lục Bài Viết

1. Định nghĩa tam giác cân

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau, hai cạnh này được gọi là hai cạnh bên. Đỉnh của một tam giác cân là giao điểm của hai cạnh bên. Góc được tạo bởi đỉnh được gọi là góc ở đỉnh, hai góc còn lại gọi là góc ở đáy.

Ở hình trên, tam giác ABC có AB = AC suy ra tam giác ABC cân.

Có AB và AC là hai cạnh bên nên tam giác ABC cân tại đỉnh A.

2. Tính chất tam giác cân

Tam giác cân có 4 tính chất sau đây:

Tính chất 1: Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau.

Chứng minh:

Giả thiết	Tam giác ABC cân tại A, AB = AC
Kết luận	$widehat{ABC}=widehat{ACB}$

Trong tam giác cân ABC, gọi AM là tia phân giác của góc

Khi đó ta có $widehat{BAM}=widehat{CAM}$

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

AB = AC (gt)

$widehat{BAM}=widehat{CAM}$ (cmt)

AM chung

Suy ta ΔABM = ΔACM (c.g.c) (đpcm)

Tính chất 2: Một tam giác có hai góc bằng nhau thì là tam giác cân.

Chứng minh

Giả thiết	Tam giác ABC, $widehat{ABC}=widehat{ACB}$
Kết luận	Tam giác ABC cân tại A

Trong tam giác ABC, gọi AM là tia phân giác của

Tam giác ABM có $widehat{ABM} + widehat{AMB} + widehat {BAM} = 180^0$ (tổng 3 góc trong một tam giác)

Tam giác ACM có $widehat{ACM}+widehat{CAM} + widehat{CMA} = 180^0$ (tổng 3 góc trong một tam giác)

Mà lại có $widehat{ABC} = widehat{ACB}$

nên $widehat{AMB} = widehat{AMC}$

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

$widehat{BAM} = widehat{CAM}$

$widehat{ABC} = widehat{ACB}$

$widehat{AMB} = widehat{AMC}$

Suy ra ΔABM = ΔACM (g – g – g) nên AB = AC (cạnh tương ứng bằng nhau)

Xét tam giác ABC có AB = AC, suy ra tam giác ABC cân tại A (định nghĩa)

Tính chất 3: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường cao của tam giác đó.

Tính chất 4: Trong một tam giác, nếu có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác là tam giác cân.

3. Dấu hiệu nhận biết tam giác cân

Trong tam giác cân có 2 dấu hiệu nhận biết đó là:

Dấu hiệu 1: Nếu một tam giác có hai cạnh bên bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Dấu hiệu 2: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Khám Phá Thêm: Địa lí 9 Bài 16: Thực hành Vẽ biểu đồ về sự thay đổi cơ cấu kinh tế Soạn Địa 9 trang 60

4. Diện tích tam giác cân

Diện tích tam giác cân bằng Tích của chiều cao nối từ đỉnh tam giác đó tới cạnh đáy tam giác, sau đó chia cho 2.

– Công thức tính diện tích tam giác cân: S = (a x h)/ 2

Trong đó:

a: Chiều dài đáy tam giác cân (đáy là một trong 3 cạnh của tam giác)
h: Chiều cao của tam giác (chiều cao tam giác bằng đoạn thẳng hạ từ đỉnh xuống đáy).

5. Cách chứng minh tam giác cân

– Cách 1: Chứng minh tam giác đó có hai cạnh bằng nhau.

– Cách 2: Chứng minh tam giác đó có hai góc bằng nhau.

Ví dụ 1: Trong tam giác ABC có Δ ABD = Δ ACD . Chứng minh tam giác ABC cân.

tam-giac-can-1

+ Chứng minh theo cách 1:

Theo bài ra, ta có:

Δ ABD = Δ ACD

=> AB = AC

=> Tam giác ABC cân tại A

+ Chứng minh theo cách 2:

Theo bài ra, ta có:

∆ ABD = ∆ ACD

=> Góc B = C

=> Tam giác ABC cân tại A

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc cạnh AB sao cho AD = AE

a) So sánh góc ABD và ACE

b) Gọi I là giao điểm của BD và CE. ΔIBC là tam giác gì ? Vì sao ?

Gợi ý đáp án

a) Tam giác ABC cân tại A (giả thiết)

$Rightarrow left{begin{array}{l} AB = AC hspace{0,2cm} \ widehat{ABC} = widehat{ACB} hspace{0,2cm}end{array} right.$

Xét ΔABD và ΔACE có:

AB = AC (giả thiết)

$widehat{A}$ chung

AD = AE (giả thiết)

⇒ ΔABD = ΔACE (cạnh – góc – cạnh)

⇒ $widehat{ABD} = widehat{ACE}$ (cặp góc tương ứng)

b) ΔIBC có:

$begin{align*}widehat{IBC} &= widehat{ABC} - widehat{ABD} \&= widehat{ACB} - widehat{ACE} hspace{0,2cm} (text{vì} widehat{ABC} = widehat{ACB}; widehat{ABD} = widehat{ACE}) \&= widehat{ICB}end{align*}$

⇒ ΔIBC cân tại I

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A và các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (H.4.69). Chứng minh rằng BE = CF.

Bài 4.23

Gợi ý đáp án:

Do tam giác ABC cân tại A nên: $widehat {ABC} = widehat {ACB}$ (tính chất tam giác cân)

Xét 2 tam giác vuông BFC và CEB:

$widehat {ABC} = widehat {ACB}$

BC chung

$=>Delta BFC = Delta CEB$ (cạnh huyền – góc nhọn)

=>BE=CF (2 cạnh tương ứng).

Ví dụ 4

Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.

Gợi ý đáp án:

Bài 4.24

Xét 2 tam giác AMC và AMB có:

AM chung

AB=AC (do tam giác ABC cân tại A)

MB=MC (gt)

$Rightarrow Delta AMB=AMC(c.c.c)$

$Rightarrow widehat {CAM} = widehat {CBM}$ (2 góc tương ứng)

$Rightarrow AM$ là phân giác của góc BAC

Mặt khác: $widehat {AMB} = widehat {AMC}$ (2 góc tương ứng) mà $widehat {AMB} + widehat {AMC} = {180^o}$ (2 góc kề bù)

Nên: $widehat {AMB} = widehat {AMC}$ .

Vậy AM vuông góc với BC.

Ví dụ 5

Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

Gợi ý đáp án:

Bài 4.25

Xét 2 tam giác vuông AMC và AMB có:

AM chung

BM=CM (gt)

$=>Delta AMB = Delta AMC (c.g.c)$

=> AM=BM (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác ABM cân tại A

Bài 4.25

Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB)

MG vuông góc với AC (G thuộc AC)

Xét 2 tam giác vuông AHM và AGC có:

$widehat {HAM} = widehat {GAM}$

AM chung

$=>Delta AHM = Delta AGC$ (cạnh huyền – góc nhọn)

=> HM=GM (2 cạnh tương ứng)

Xét 2 tam giác vuông BHM và CGM có:

Khám Phá Thêm: Tiếng Anh lớp 4 Unit 6: Lesson 10 Soạn Anh 4 trang 103 Explore Our World (Cánh diều)

BM=CM(gt)

MH=MG(cmt)

$=>Delta BHM = Delta CGM$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$=>widehat {BMH} = widehat {CMH}$ (2 góc tương ứng)

=>Tam giác ABC cân tại A.

Ví dụ 6

Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân.

Hãy giải thích các khẳng định sau:

a) Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông;

b) Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°;

c) Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45° là tam giác vuông cân.

Gợi ý đáp án:

a) Do tổng ba góc trong 1 tam giác bằng 180 độ nên tam giác không thể có 2 góc vuông

=>Tam giác vuông cân sẽ có 2 góc nhọn bằng nhau

=> Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông.

b) Giả sử hai góc nhọn trong tam giác vuông là x, ta có:

$begin{array}{l}x + x + {90^o} = {180^o}\ Rightarrow 2x = {90^o}\ Rightarrow x = {45^o}end{array}$

Vậy tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°.

c) Gọi góc còn lại của tam giác vuông có 1 góc nhọn bằng 45° là x, ta có:

$x + {45^o} + {90^o} = {180^o} Rightarrow x = {45^o}$

Vậy tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45° là tam giác vuông cân.

Ví dụ 7

Cho hình 14, biết ED = EF và EI là tia phân giác của $widehat{DEF}$ .

Chứng minh rằng:

a. $Delta EID = Delta EIF$

b. Tam giác DIF cân.

Hình 14

Gợi ý đáp án:

a. Xét $Delta EID$ và $Delta EIF$ có:

EI chung

$widehat{DEI} = widehat{IEF}$

DE = EF.

$Rightarrow Delta EID = Delta EIF (c.g.c)$

b. Vì $Delta EID = Delta EIF$ (chứng minh trên)

$Rightarrow ID = IF$

$Rightarrow$ Tam giác DIF cân tại I.

Ví dụ 8

Cho tam giác ABC cân tại A có $widehat{A}$

Hình 15

a. Tính $widehat{B}, widehat{C}$ .

b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh tam giác AMN cân.

c. Chứng minh rằng MN // BC.

Gợi ý đáp án:

a. Vì tam giác ABC cân tại A $Rightarrow$

b. Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên $AM = MB = frac{AB}{2}, AM = MC = frac{AC}{2}$

mà AB = AC ( vì $Delta ABC$ cân)

$Rightarrow$

$Rightarrow$ Tam giác AMN cân tại A.

c. Xét $Delta AMN$ cân tại A có: $widehat{AMN} = frac{180^{o}-widehat{A}}{2}$

Xét $Delta ABC$ cân tại A có: $widehat{ABC} = frac{180^{o}-widehat{A}}{2}$

$Rightarrow$

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$Rightarrow$ .

6. Bài tập tam giác cân

A. Trắc nghiệm

Bài 1: Chọn câu sai

A. Tam giác đều có ba góc bằng nhau va bằng 60°

B. Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau.

C. Tam giác cân là tam giác đều.

D. Tam giác đều là tam giác cân.

Gợi ý

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau

Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 60°

Tam giác đều cũng là tam giác cân nhưng tam giác cân chưa chắc là tam giác đều

Chọn đáp án C.

Bài 2: Hai góc nhọn của tam giác vuông cân bằng

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân bằng 45°

Chọn đáp án B.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Chọn phát biểu sai

$A. widehat{B}=widehat{C}$

$B. widehat{C}=frac{180^{circ}-widehat{A}}{2}$

$C. hat{A}=180^{circ}-2 widehat{C}$

$D. hat{B} neq widehat{C}$

Gợi ý

Do tam giác ABC cân tại A nên ∠B = ∠C

Do đó đáp án D sai

Chọn đáp án D.

Bài 4: Một tam giác cân có góc ở đỉnh là 64° thì số đo góc đáy bằng?

A. 54°

B. 58°

C. 72°

D. 90°

Gợi ý

Góc ở đỉnh là $widehat{A}$ , góc ở đáy là $widehat{C}=frac{180^{circ}-widehat{A}}{2}$

Áp dụng công thức số đo ở đáy là: $frac{180^{circ}-64^{circ}}{2}=58^{circ}$

Chọn đáp án B.

Bài 5: Một tam giác cân có góc ở đáy bằng 70° thì góc ở đỉnh bằng bao nhiêu?

A. 64°

B. 53°

C. 70°

D. 40°

Góc ở đỉnh là $hat{A}=180^{circ}-2 widehat{C}$ góc ở đáy là $widehat{C}=frac{180^{circ}-widehat{A}}{2}$

Áp dụng công thức số đo ở đỉnh là: 180° – 2.70° = 40°

Chọn đáp án D.

Câu 6: Cho tam giác cân ABC cân tại A có $hat{A}$ = 50 . Tính số đo của $hat{B}$ và $hat{C}$ .

Khám Phá Thêm: KHTN 9 Bài 22: Giới thiệu về hợp chất hữu cơ Giải KHTN 9 Kết nối tri thức trang 103, 104, 105, 106

A. $hat{B}$ = $hat{C}$ = 50

B. $hat{B}$ = $hat{C}$ = 60

C. $hat{B}$ = $hat{C}$ = 65

D. $hat{B}$ = $hat{C}$ = 70

Câu 7: Cho tam giác MNP cân tại M có $hat{N}$ = 70 . Tính số đo của $hat{M}$ . Câu nào sau đây đúng:

A.40

B.48

C.52

D.60

Câu 8: CHo tam giác ABC cân tại A. lấy điểm M thuộc canh AB và N thuốc cjanh AC sao cho AM=AN. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Câu nào sau đây sai:

A.BM=CN

B.BN=CM

C. Δ A M N là tam giác cân

D.A,B đúng, C sai

Câu 9: Với đề bài câu trên, tam giác BIC là tam giác gì?

A.Tam giác vuông

B.Tam giác cân

C.Tam giác vuông cân

D.A,B,C đều sai

Câu 10: Cho tam giác ABC, về phía ngoài Δ A B C vẽ hai tam giác đều ABH và ACK. So sánh đoạn thẳng BK và CH

A.BK=CH

B.BK<CH

C.BK>CH

Câu 11: Một tam giác cân có góc ở đỉnh là 64° thì số đo góc đáy bằng?

A. 54°

B. 58°

C. 72°

D. 90°

Câu 12: Một tam giác cân có góc ở đáy bằng 70° thì góc ở đỉnh bằng bao nhiêu?

A. 64°

B. 53°

C. 70°

D. 40°

B. Tự luận

Bài 1. Cho $triangle$ ABC cân tại A có $widehat{A}$ . Tính số đo các góc B và C.

Bài 2. Cho $triangle$ ABC cân tại A có $widehat{A}$ . Tính số đo các góc B và C.

Bài 3. Cho $Delta M N P$ cân tại P có $hat{P}=70^{circ}$ . Tính số đo các góc $mathrm{M} và mathrm{N}.$

Bài 4. Cho $triangle$ ABC vuông cân tại A có . Tính số đo các góc B và C.

Bài 5. Cho $triangle$ ABC cân tại A có $hat{B}=30^{circ}.$ Tính số đo các góc A và C.

Bài 6. Cho $Delta M E F$ cân tai $mathrm{M} có widehat{E}=70^{circ}$ . Tính số đo các góc M và F

Bài 7. Cho $Delta P Q R$ cân tai Q có $hat{R}=42^{circ}$ . Tính số đo các góc P và Q

Bài 8. Cho $triangle$ ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia B C lấy điểm D sao cho B D=A B. Tính số đo góc ADB.

Bài 9. Cho $triangle$ cân tại A có $widehat{A}$ . Hai tia phân giác góc B và C cắt nhau tại I. Tính Bài số đo góc BIC.

Bài 10. Cho $triangle$ ABC cân tại A có . Hai tia phân giác góc B và C cắt nhau tai I, biết số đo $widehat{B I C}=120^{circ}$ . Tính số đo góc A.

Bài 11. Cho tam giác $triangle$ ABC cân tại A có $widehat{mathrm{A}}=80^{circ}$ . Tia phân giác góc B cắt AC tai I. Tính số đo góc BIC

Bài 12:Cho góc nhọn xOy. Điểm H nằm trên tia phân giác của góc xOy. Từ H dựng các đường vuông góc xuống hai cạnh Ox và Oy (A thuộc Ox và B thuộc Oy).

a) Chứng minh tamgiác HAB là tamgiác cân

b)Dlà hình chiếu của điểm A trên Oy, C là giao điểm của AD với O. Chứng minh BC ⊥ Ox.

c) Khi góc xOy bằng 60⁰, chứng minh OA = 2O

Bài 13: Cho ∆ABC cân tại A và hai đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại K.

a) Chứng minh rBNC = rCMB

b) Chứng minh ∆BKCcân tại K

c) Chứngminh BC < KM

Bài 14:Cho ∆ ABC vuông tại A có BD là phân giác, kẻ DE ⊥ BC ( E∈BC ). Gọi F là giao điểm của AB và DE. Chứng minh rằng

a) BD là trung trực của AE

b) DF = DC

c) AD < DC; d) AE // FC.

Cảm ơn bạn đã xem bài viết Tam giác cân: Khái niệm, tính chất, cách chứng minh và bài tập Diện tích tam giác cân tại Thcslytutrongst.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.

1. Định nghĩa tam giác cân

2. Tính chất tam giác cân

3. Dấu hiệu nhận biết tam giác cân

4. Diện tích tam giác cân

5. Cách chứng minh tam giác cân

6. Bài tập tam giác cân

Bài Viết Liên Quan