Bạn đang xem bài viết Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau – Bài tập sách giáo khoa Toán 9 tại Thcslytutrongst.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.
Trong sách giáo khoa môn Toán lớp 9, chương trình học về hình học đại số đưa ra rất nhiều bài tập về tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau. Chủ đề này giúp học sinh rèn luyện khả năng phân tích và suy luận trong việc áp dụng lý thuyết về tiếp tuyến vào việc giải quyết các bài toán thực tế. Qua việc thực hiện các bài tập này, học sinh có cơ hội trau dồi khả năng tư duy logic, phát hiện và giải quyết vấn đề một cách tựa mình. Bên cạnh đó, việc nắm vững tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau còn là nền tảng quan trọng để phát triển kiến thức hình học cao hơn trong tương lai. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng điểm qua một số bài tập và phân tích tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau trong từng trường hợp cụ thể.
Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
Định lý về tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều 2 tiếp điểm.
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
Nghĩa là cho đường tròn (O), B, C∈(O). Tiếp tuyến của (O) tại B,C cắt nhau tại A.
Khi đó
- AB=AC.
- Tia OC là phân giác góc BOC.
- Tia AO là phân giác góc BAC.
Chứng minh tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
Muốn chứng minh tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, trước tiên. Chúng ta hãy kẻ bảng giải thiết và kết luận để lắm rõ yêu cầu đề bài.
Gọi BA, CA theo thứ tự là các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O). Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:
AB vuông OB tại B và AC vuông OC tại C.
Xét tam giác OAB và tam giác OAC có:
- OB = OC
- Góc ABO = Góc ACO = 90
- AO là cạnh chung
Do đó, tam giác OAB = tam giác OAC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra:
- Góc A1 =A2 (2 góc tương ứng)
- Góc O1= O2 (2 góc tương ứng)
- AB= AC suy ra A thuộc đường trung thực của đoạn BC
- Mà OB=OC suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn BC
Kết luận OA là đường trung trực của đoạn BC
Đường tròn nội tiếp tam giác
Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác. Còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn. Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong của tam giác.
Đường tròn bàng tiếp tam giác
Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C. Hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác góc ngoài tại B (hoặc C). Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.
Các dạng bài toán thường gặp về tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
Dạng 1: Chứng minh các đường thẳng song song (vuông góc), chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
Phương pháp: Dùng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.
Dạng 2: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến, tính độ dài, số đo góc và các yếu tố khác.
Phương pháp:
- Dùng định nghĩa tiếp tuyến; tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.
- Dùng khái niệm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp.
- Dùng hệ thức lượng về cạnh và góc trong tam giác vuông.
Bài tập liên quan đến tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
Sau khi ôn lại kiến thức về định nghĩa và tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau. Thì cùng Chúng Tôi củng cố lại kiến thức qua một số bài tập minh hoạ về tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ngay nhé!
Giải bài 26 trang 115 – SGK Toán lớp 9 tập 1
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC; biết OB=2cm, OA=4cm.
Lời giải:
a) Ta có: AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau). Nên ΔABC cân tại A.
Lại có AO là tia phân giác của góc A nên AO ⊥ BC. (Trong tam giác cân, đường phân giác cũng là đường cao)
b) Gọi I là giao điểm của AO và BC. Suy ra BI = IC (đường kính vuông góc với một dây).
Xét ΔCBD có:
CI = IB
CO = OD (bán kính)
⇒ BD // HO (HO là đường trung bình của BCD) ⇒ BD // AO.
c) Theo định lí Pitago trong tam giác vuông OAC:
Giải bài 27 trang 115 – SGK Toán lớp 9 tập 1
Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2AB.
Lời giải:
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:
DM = DB, EM = EC, AB = AC
Chu vi ΔADE:
Chu vi ΔADE = AD + DE + AE = AD + DM + ME + AE = AD + DB + EC + AE = AB + AC = 2AB (đpcm)
Giải bài 28 trang 116 – SGK Toán lớp 9 tập 1
Cho góc xAy khác góc bẹt. Tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên đường nào?
Lời giải:
Gọi O là tâm của một đường tròn bất kì tiếp xúc với hai cạnh góc xAy. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: góc xOA = góc yOA.
Hay AO là tia phân giác của góc xAy.
Vậy tâm các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên tia phân giác của góc xAy.
Giải bài 29 trang 116 – SGK Toán lớp 9 tập 1
Cho góc xAy khác góc bẹt, điểm B thuộc tia Ax. Hãy dựng đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay.
Lời giải:
Đường tròn (O) tiếp xúc với hai tia Ax và Ay nên tâm O của (O) nằm trên tia phân giác của góc xAy. Do đó ta có cách dựng:
- Dựng tia phân giác At của góc xAy.
- Dựng đường thẳng Bz qua B và vuông góc với tia Ax.
- Giao điểm O của At và Bz là tâm của đường tròn cần dựng.
- Dựng đường tròn tâm O, bán kính R = OB, ta được đường tròn cần dựng.
Hy vọng bài viết giúp các bạn hiểu được tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau và một số bài tập SGK Toán 9. Đừng quên share và follow bài viết để Chúng Tôi có thêm động lực chia sẻ kiến thức nữa nhé.
Trong bài tập sách giáo khoa Toán 9, chúng ta đã tìm hiểu về tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau. Tính chất này rất quan trọng và hữu ích trong việc giải các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số.
Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau nói rằng: nếu hai đường thẳng tiếp tuyến với đồ thị của hai hàm số f(x) và g(x) tại cùng một điểm P thì tồn tại một điểm Q nằm giữa hai điểm tiếp tuyến đó, khi đó đồ thị của hàm số f(x) và g(x) cắt nhau tại điểm Q.
Để chứng minh tính chất này, ta sử dụng định nghĩa của tiếp tuyến và khái niệm đạo hàm. Điểm P là nghiệm của phương trình hàm số f(x) = g(x). Bằng cách tính đạo hàm của hai hàm số tại điểm P, ta tìm được hai hệ số góc của hai đường tiếp tuyến lần lượt là f'(P) và g'(P). Từ đó, ta có thể xác định được phương trình tổng quát của hai đường tiếp tuyến.
Qua quá trình xác định hệ số góc của hai đường tiếp tuyến, ta nhận thấy rằng hai hàm số f(x) và g(x) sẽ có hai điểm tiếp tuyến khác nhau. Điểm tiếp tuyến đầu tiên sẽ có định toán hơn điểm tiếp tuyến thứ hai. Do đó, tồn tại một điểm Q giữa hai điểm tiếp tuyến đó mà các đường thẳng tiếp tuyến cắt nhau tại điểm Q.
Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau là một nhận xét quan trọng trong học Toán. Nó giúp chúng ta hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa hai hàm số và tạo ra cơ hội để giải quyết các bài toán hình học và xác định các điểm cắt nhau của đồ thị hàm số. Việc áp dụng tính chất này vào việc giải toán giúp chúng ta nâng cao kỹ năng toán học và phát triển khả năng tư duy logic.
Cảm ơn bạn đã xem bài viết Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau – Bài tập sách giáo khoa Toán 9 tại Thcslytutrongst.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.
Từ Khoá Liên Quan:
1. Tiếp tuyến cắt nhau
2. Điểm giao tiếp tuyến
3. Tính chất cắt nhau của 2 tiếp tuyến
4. Góc giữa 2 tiếp tuyến
5. Đường kính tiếp tuyến
6. Đường kính cắt nhau
7. Đường chéo tiếp tuyến
8. Đường chéo cắt nhau
9. Điểm chéo cắt nhau
10. Đường chéo chung tiếp tuyến
11. Góc chéo tiếp tuyến
12. Đường tròn đồng tâm
13. Tâm đường tròn
14. Bán kính đường tròn
15. Đồ thị đường tròn
