Tính chất đường trung trực là gì? Tổng hợp đủ các tính chất

Có lẽ trong chúng ta ai cũng đã gặp các bài toán liên quan đến đường trung trực rồi phải không nào? Vậy có tất cả bao nhiêu tính chất đường trung trực? Làm thế nào để nhận biết được đâu là đường trung trực? Hãy lướt ngay xuống bài viết dưới đây để cùng Chúng Tôi tìm hiểu ngay nhé!

Đường trung trực là gì?

Trước tiên chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu về khái niệm của đường trung trực các bạn nhé!

Đường trung trực là gì?

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của một đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng ấy. Đường trung trực được áp dụng vào khá nhiều dạng bài tập khác nhau.

Mỗi đoạn thẳng có bao nhiêu đường trung trực?

Mỗi đoạn thẳng chỉ có duy nhất một đường trung trực. Với mỗi đoạn thẳng bất kì, chỉ có 1 đường thẳng duy nhất vuông góc tại trung điểm của đoạn thẳng đó.

Cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng

Chắc hẳn các bạn đều muốn biết cách viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng phải không? Sau đây là cách phổ biến được nhiều người sử dụng nhất.

Đề bài tổng quát: Cho hai điểm A(x_A; y_A) và điểm B. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB. Trước tiên, ta sẽ gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Như vậy đường thẳng (d) sẽ vuông góc AB tại trung điểm C của AB.

Khi đó, phương trình đường thẳng (d) sẽ đi qua M và nhận vectơ AB làm vectơ pháp tuyến. Sau đó chúng ta sẽ viết ngay được phương trình đường thẳng d.

Ví dụ: Cho hai điểm A(1; 0) và điểm B(1; 2). Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Gọi phương trình đường trung trực của AB là d’.

Vì theo đề bài có tọa độ điểm A và B => Ta có: vectơ AB(0; 2) và trung điểm AB là C(1; 1). Vì đường trung trực d’ của đoạn thẳng AB vuông góc với AB tại trung điểm C, từ đó d’ nhận vectơ AB(0; 2) làm vectơ pháp tuyến.

Như vậy, đường trung trực d’ của AB đi qua điểm C(1; 1) và có vectơ pháp tuyến là vectơ AB(0; 2). Vì vậy phương trình đường trung trực của AB là: 0(x – 1) + 2(y – 1) = 0 => y – 1 = 0.

Tính chất đường trung trực

Để tìm hiểu kĩ và sâu hơn về đường trung trực, chúng ta hãy cùng nhau khám phá những tính chất thú vị của đường trung trực nhé!

Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng bao gồm định lý đảo và định lý thuận. Trước hết, định lý thuận đường trung trực của một đoạn thẳng là điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Ví dụ:

Theo giả thiết: d là trung trực của AB, M d.

Kết luận: MA = MB (định lý đường trung trực của một đoạn thẳng).

Định lý đảo đường trung trực của một đoạn thẳng là điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Ví dụ:

Theo giả thiết: MA = MB.

Kết luận: M ∈ đường trung trực của đoạn thẳng AB (định lý đảo đường trung trực của một đoạn thẳng).

Tính chất ba đường trung trực trong tam giác

Tính chất ba đường trung trực trong tam giác được phát biểu như sau: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm và điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Đường tròn tâm O sẽ đi qua ba đỉnh A, B, C của tam giác và ta gọi đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Chứng minh đường trung trực

Để chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng bất kì, ta có 5 phương pháp chứng minh khác nhau.

• Cách 1: Chứng minh d ⊥ AB tại trung điểm của AB.
• Cách 2: Chứng minh 2 điểm nằm trên d cách đều 2 điểm A và B.
• Cách 3: Áp dụng tính chất đường trung tuyến, đường cao.
• Cách 4: Áp dụng tính chất đối xứng của trục.
• Cách 5: Áp dụng tính chất đoạn nối tâm của 2 đường tròn cắt nhau ở 2 điểm.

Bên trên là các cách phổ biến thường được sử dụng để chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng bất kì. Các bạn có thể áp dụng vào các dạng bài tập khác nhau.

Dạng bài toán về tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Sau đây là một số dạng toán phổ biến và thường gặp về tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng.

Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Với dạng toán này, chúng ta sẽ sử dụng định lý đường trung trực của một đoạn thẳng: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại điểm D. Trên cạnh BC, lấy điểm E sao cho: BE = AB. Chứng minh rằng: AD = DE.

Cách giải bài toán như sau:

Xét ΔABD và ΔEBD, ta có:

BD là cạnh chung

BE = AB (theo đề bài)

BD là tia phân giác của góc B => góc ABD = góc DBE

=> ΔABD = ΔEBD (cạnh – góc – cạnh)

=> AD = DE (cạnh tương ứng bằng nhau) (điều phải chứng minh).

Dạng 2: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Với dạng bài này, chúng ta cần phải thực hiện lần lượt 2 bước như sau:

• Áp dụng tính chất giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác.
• Kế tiếp ta sẽ sử dụng định lý: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm thì điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Dạng 3: Đường trung trực trong tam giác cân

Trước khi làm dạng bài này, chúng ta cần lưu ý một tính chất như sau: Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường cao, đường trung tuyến và đường phân giác ứng với cạnh đáy đó.

Ví dụ : Cho tam giác ABC cân tại A, DBC cân tại D và EBC cân tại E có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Cách giải:

Vì ΔABC cân tại A (theo đề bài) ⇒ AB = AC

⇒ A nằm trên đường trung trực của BC.

Vì ΔDBC cân tại D ⇒ DB = DC

⇒ D nằm trên đường trung trực của BC.

Vì ΔEBC cân tại E ⇒ EB = EC

⇒ E nằm trên đường trung trực của BC.

Do đó ba điểm A, D, E cùng nằm trên đường trung trực của BC.

Vậy A, D, E thẳng hàng (điều phải chứng minh).

Dạng 4: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng

Để chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng bất kì, ta cần sử dụng định nghĩa về đường trung trực.

Ví dụ 1: Chứng minh đường thẳng AB là đường trung trực của đoạn thẳng CD.

A, B là giao điểm của hai cung tròn tâm C, D. Trong đó, hai cung tròn này có cùng bán kính nên ta có:

AC = AD (= bán kính).

BC = BD (= bán kính).

=> Hai điểm A và B cùng thuộc đường trung trực của đoạn thẳng CD.

Vậy AB là đường trung trực của đoạn thẳng CD.

Những bài tập liên quan đến tính chất đường trung trực

Trong chương trình toán học có rất nhiều bài tập liên quan đến tính chất của đường trung trực. Sau đây là một số bài tập cụ thể và thường bắt gặp nhất:

Bài 1: Cho A, B là hai điểm phân biệt và d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Ta kí hiệu PA là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm A (không kể đường thẳng d). Gọi là một điểm của PA và M là giao điểm của đường thẳng NB và d. Hãy so sánh NB với NM + MA; từ đó suy ra NA < NB.

Lời giải:

Vì M nằm trên d và d là trung trực của AB nên MA = MB (1).

Vì N ∈ PA nên N và B thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ là đường thẳng d.

⇒ M nằm giữa N và B ⇒ NM + MB = NB (2)

Từ (1) và (2) ⇒ NB = MA + NM.

Trong ∆NMA có : MA + NM > NA (bất đẳng thức tam giác).

⇒ NA < NB.

Bài 2: Cho hai điểm M, N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh ΔAMN = ΔBMN.

Lời giải:

Vì M thuộc đường trung trực của AB.

⇒ MA = MB (định lý thuận về tính chất của các điểm thuộc đường trung trực).

N thuộc đường trung trực của AB.

⇒ NA = NB (định lý thuận về tính chất của các điểm thuộc đường trung trực).

Do đó ΔAMN và ΔBMN có:

AM = BM (cmt)

MN chung

AN = BN (cmt)

⇒ ΔAMN = ΔBMN (c.c.c) (đpcm).

Bài 3: Cho góc xOy bằng 68^o, điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B sao cho Ox là đường trung trực của AB. Vẽ điểm C sao cho Oy là đường trung trực của AC.

a) So sánh OB và OC.

b) Tính số đo góc BOC.

Lời giải:

a) Ox là đường trung trực của AB.

=> OA = OB ; góc ${AOx}^{}=\; góc{xO\mathrm{B.}}^{}$

Oy là đường trung trực của AC.

=> OA = OC ; góc ${yOA}^{}=\; góc{yO\mathrm{C.}}^{}$

Do đó OB = OC.

b) góc ${BOC}^{}=\; góc{BOx}^{}+\; góc{xOy}^{}+\; góc{yOC}^{}=\mathrm{2.góc}{xOy}^{}={156}^{}$

Bài 4: Cho ΔABC có góc A tù. Các đường trung trực của AB, AC cắt nhau tại O và cắt BC theo thứ tự ở D và E. Hỏi ΔABD, ΔACE là tam giác gì?

Lời giải:

Vì D thuộc đường trung trực của AB nên:

DA = DB (tính chất đường trung trực)

=> ΔADB cân tại D.

Vì E thuộc đường trung trực của AC nên:

EA = EC (tính chất đường trung trực)

=> ΔAEC cân tại A.

Dựa vào những cách giải ở phần dạng bài mà chúng mình đã đưa ra, hãy áp dụng vào để tự giải các bài toán thường gặp ở trên nhé! Mong rằng các bạn đã hiểu rõ về tính chất đường trung trực và các dạng bài xoay quanh nó.

Như vậy, sau khi đọc bài viết trên, chắc hẳn các bạn cũng đã hiểu thêm đường phần nào về tính chất đường trung trực rồi phải không nào? Hãy theo dõi Chúng Tôi ngay để cập nhật thêm nhiều thông tin mới mẻ và bổ ích các bạn nhé!