Bạn đang xem bài viết Tính chất trực tâm là gì? 5 tính chất cơ bản trong tam giác tại Thcslytutrongst.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.
Tính chất trực tâm là một trong những tính chất cơ bản trong tam giác, nó làm sáng tỏ quan hệ giữa các đường trực tâm và các đường trung tuyến trong tam giác. Được đặt tên theo điểm giao nhau của ba đường trực tâm, tính chất này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học và được áp dụng rộng rãi trong lĩnh vực hình họa và tính toán đa giác.
Đầu tiên, chúng ta cần biết rằng tam giác có ba đường trực tâm, đó là đường trung tuyến, đường đối phương và đường đồng trục qua các đỉnh tương ứng. Mỗi đường trực tâm đều có những đặc điểm riêng và cộng lại tạo nên tính chất trực tâm chung của tam giác.
Điểm trực tâm, hay còn gọi là trung điểm, là điểm giao nhau của ba đường trực tâm và nằm ở trong tam giác. Điểm này có tính chất đặc biệt là nằm trên cùng một đường thẳng với các trung điểm của ba cạnh tương ứng. Điều này có nghĩa là đường trực tâm chứa trọng tâm của tam giác.
Hai tính chất quan trọng của đường trực tâm là nó cắt nhau tại một điểm và đi qua trọng tâm của tam giác. Điều này có nghĩa là ta có thể kết hợp các tính chất này để xác định một đường trực tâm khi biết trọng tâm của tam giác.
Thêm vào đó, đường trực tâm cũng có tính chất đối xứng qua trực giác của tam giác, điều này có nghĩa là đường trực tâm từ một đỉnh của tam giác đi qua trung điểm của cạnh đối diện và cắt cạnh đối như nhau.
Cuối cùng, đường trực tâm cũng đi qua trị tâm của tam giác, nơi đường trực tâm gọi là đường trực tâm trị tâm. Điều này có nghĩa là đường trực tâm và đường truyền đi qua trị tâm của tam giác là trùng nhau.
Tính chất trực tâm giúp chúng ta hiểu thêm về sự liên quan giữa các yếu tố trong tam giác và có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác.
Trực tâm tam giác hay trực tâm trong không gian đều là kiến thức hình học cơ bản toán học trung học cơ sở. Vậy Chúng Tôi cùng đi tìm hiểu định nghĩa, cách xác định và tính chất trực tâm của tam giác nhé!
Trực tâm là gì?
Trực tâm là gì?
Trực tâm là giao điểm của 3 đường cao trong một tam giác. Điều này không phải dựa vào mắt thường, mà dựa vào dấu hiệu nhận biết.
- Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó.
- Đối với tam giác vuông: Trực tâm chình là đỉnh góc vuông.
- Đối với tam giác tù: Trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó.
Ví dụ: Trong ảnh bên dưới, H là trực tâm của tam giác ABC.
Tiếp theo cùng Chúng Tôi tìm hiểu cách xác định và tính chất trực tâm của tam giác nhé!
Cách xác định trực tâm của một số dạng hình học
Đối với mỗi loại tam giác sẽ có cách xác định trực tâm khác nhau:
Tam giác nhọn thì trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó. Ví dụ: Tam giác nhọn ABC có trực tâm H nằm ở miền trong tam giác.
Tam giác vuông thì trực tâm chình là đỉnh góc vuông. Ví dụ: Tam giác vuông EFG có trực tâm H trùng với góc vuông E.
Tam giác tù thì trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó. Ví dụ: Tam giác tù BCD có trực tâm H nằm ở miền ngoài tam giác.
Tính chất trực tâm
Tính chất trực tâm trong tam giác là tài liệu rất hữu ích mà hôm nay Chúng Tôi muốn giới thiệu đến các bạn lớp 7 tham khảo.
- Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, đến trung điểm cạnh nối hai đỉnh còn lại bằng 1/2 khoảng cách từ một đỉnh tới trực tâm.
- Trực tâm tam giác vuông chính là đỉnh góc vuông của tam giác vuông đó.
- Trong tam giác cân thì đường cao cũng đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác và đường trung trực của đỉnh tam giác cân đó.
- Trong tam giác đều, trực tâm cũng đồng thời là trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác đó.
- Trực tâm nằm ở vùng phía trong 1 tam giác, nếu nó là tam giác nhọn.
- Trực tâm nằm ở vùng ngoài tam giác nếu nó là tam giác tù.
- Theo định lý Carnot: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.
Sau khi hiểu rõ về tính chất trực tâm thì cùng Chúng Tôi đến khái niệm đường cao của tam giác nhé!
Khái niệm đường cao của một tam giác
Trong toán học, đường cao của một tam giác theo định nghĩa chính là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện.
- Cạnh đối diện này thường được gọi là đáy tương ứng với đường cao.
- Theo lý thuyết, giao điểm của đường cao với đáy thì được gọi là chân của đường cao.
- Độ dài của đường cao theo định nghĩa chính là khoảng cách giữa đỉnh và đáy.
Trong mỗi tam giác có ba đường cao tương ứng.
Tính chất đường cao của tam giác
Định lí đường cao của tam giác: Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
Ba đường cao của tam giác bao gồm các tính chất cơ bản sau:
- Tính chất 1: Trong một tam giác cân thì đường trung trực ứng với cạnh đáy. Đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao của tam giác đó.
- Tính chất 2: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến. Đồng thời là phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
- Tính chất 3: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến. Đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.
- Tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn ABC sẽ trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh BC, AC, AB tương ứng.
- Tính chất 5: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.
Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
Bài tập liên quan đến tính chất trực tâm
Qua những câu hỏi trên chắc hẳn bạn đã hiểu rõ các khái niệm và tính chất trực tâm của tam giác. Vậy cùng Chúng Tôi củng cố kiến thức qua một số bài tập liên quan đến tính chất trực tâm nhé!
Bài 58 trang 83 SGK Toán 7 tập 2
Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ngoài tam giác.
Hướng dẫn bài tập 58:
Áp dụng tính chất trực tâm của tam giác ta có:
Trường hợp tam giác vuông:
- Xét tam giác ABC vuông tại A thì BA⊥CA hay A là giao điểm của hai đường vuông góc trong tam giác
- ⇒ A trực tâm của tam giác.
- Vậy trong tam giác vuông thì trực tâm trùng với đỉnh góc vuông.
Trường hợp tam giác tù:
Giả sử tam giác ABC có góc A tù ⇒ BC là cạnh lớn nhất hay BC>BA.
Từ BB kẻ đường thẳng BK vuông góc với CA. Ta có: KA,KC lần lượt là hình chiếu của BA,BC.
Vì BC>BA nên KC>KA hay K phải nằm ngoài đoạn thẳng AC. Do đó ta có đường cao BK.
Tương tự dựa vào tính chất trực tâm của tam giác với đường cao CP.
Gọi H là giao điểm của BK và CP⇒H chính là trực tâm của tam giác. Ta thấy H ở bên ngoài tam giác.
Vậy trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác đó.
Bài 59 trang 83 SGK Toán 7 tập 2
Cho hình 57. Áp dụng tính chất trực tâm của tam giác chứng minh:
a) Chứng minh NS ⊥ LM
b) Khi góc LNP = 50 độ, hãy tính góc MSP và góc PSQ.
Hướng dẫn bài tập 59:
Áp dụng tính chất trực tâm của tam giác ta có:
a) Trong ΔMNL có:
LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL.
MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.
Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S
Nên theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.
⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.
hay SN ⊥ ML.
Bài 60 trang 83 SGK Toán 7 tập 2
Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.
Dựa vào tính chất trực tâm của tam giác chứng minh KN ⊥ IM.
Hướng dẫn bài tập 60:
l ⊥ d tại J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI.
N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI.
IN và MJ cắt nhau tại N .
Theo tính chất ba đường cao của ta giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.
⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ MI.
Vậy KN ⏊ IM
Bài 61 trang 83 SGK Toán 7 tập 2
Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Dụa vào tính chất trực tâm:
a) Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.
b) Tương tự, dựa vào tính chất trực tâm. Hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC.
Hướng dẫn bài tập 61:
Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.
⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB. (Dựa vào tính chất trực tâm)
a) ΔHBC có :
- AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.
- BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC.
- CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.
AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.
b) Tương tự áp dụng tính chất trực tâm tam giác:
- Trực tâm của ΔHAB là C (C là giao điểm của ba đường cao: CF, AC, BC).
- Trực tâm của ΔHAC là B (B là giao điểm của ba đường cao: BE, AB, CB).
Bài 62 trang 83 SGK Toán 7 tập 2
Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Từ tính chất trực tâm suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều?
Hướng dẫn bài tập 62:
Áp dụng tính chất trực tâm của tam giác ta có:
TH1: Xét ΔABC vuông tại A có các đường cao AD, BA, CA.
- BA, CA là hai đường cao xuất phát từ hai góc nhọn B và C của ΔABC.
- AB = AC ⇒ ΔABC cân tại A (đpcm).
TH2: Xét ΔABC không có góc nào vuông, hai đường cao BD = CE (như hình vẽ minh họa)
Xét hai tam giác vuông EBC và DCB có :
- BC (cạnh chung).
- CE = BD (giả thiết).
- ⇒ ∆EBC = ∆DCB (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Xét ΔABC ba đường cao BD = CE = AF (như hình vẽ minh họa).
- CE = BD ⇒ ΔABC cân tại A (như cmt) ⇒ AB = AC.
- CE = AF ⇒ ΔABC cân tại B (như cmt) ⇒ AB = BC:
- ⇒ AB = AC = BC
- ⇒ ΔABC đều.
Hy vọng với những kiến thức tổng hợp trên bạn đã hiểu được tính chất trực tâm là gì và cách giải các bài tập liên quan. Nếu thấy hay nhớ like và chia sẻ giúp Chúng Tôi nhé!
Trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về khái niệm “tính chất trực tâm” trong tam giác và 5 tính chất cơ bản liên quan đến nó.
Tính chất trực tâm của một tam giác là tính chất đặc biệt hiện diện khi ba đường trực tâm của tam giác cắt nhau tại một điểm duy nhất, gọi là trực tâm. Điểm này được ký hiệu là T.
Đầu tiên, chúng ta đã xem xét tính chất số đo các góc của tam giác nằm trên các đường trực tâm. Điều này cho phép chúng ta nhận thấy rằng tổng các góc nội tiếp (góc nằm trên cùng một nửa mặt cung của một đường tròn nội tiếp tam giác) trong tam giác bằng 180 độ.
Thứ hai, chúng ta đã tìm hiểu tính chất quan hệ giữa trực tâm và trọng tâm của tam giác. Trực tâm là giao điểm của ba đường trực tâm, trong khi trọng tâm là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác. Chúng ta đã biết rằng trọng tâm chia tam giác thành ba phần đều nhau từ môi trường và cắt nhau tại tổng trọng tâm. Điều thú vị là, trọng tâm và trực tâm luôn nằm trên cùng một đường thẳng, được gọi là đường Euler.
Tiếp theo, chúng ta đã xem xét tính chất trực tâm khi xoay tam giác. Khi một tam giác được xoay quanh trực tâm của nó một góc nào đó, thì các trực tâm mới vẫn cắt nhau tại cùng một điểm. Điều này đồng nghĩa với việc trực tâm có tính chất ổn định và cố định trong suốt quá trình xoay tam giác.
Tiếp theo, chúng ta đã xem xét tính chất liên quan đến trực tâm và điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Một điểm đặc biệt là khi ta kết nối trực tâm với các đỉnh của tam giác, ta thu được một đường tròn ngoại tiếp tam giác. Điểm này là trung điểm của đường chéo dài nhất của tam giác và là trực tâm của tam giác đối xứng với tam giác ban đầu qua một đường thẳng.
Cuối cùng, chúng ta đã xem xét tính chất đặc biệt của tam giác cân và tam giác đều liên quan đến trực tâm. Trong tam giác cân, trực tâm nằm trên trục đối xứng của tam giác. Trong tam giác đều, trực tâm là tâm đối xứng của tam giác.
Tổng kết lại, việc hiểu về tính chất trực tâm là rất quan trọng để nắm bắt những quy luật phức tạp của tam giác. Việc áp dụng và hiểu sâu hơn về những tính chất này có thể giúp chúng ta nắm vững hơn về các quy tắc và công thức liên quan đến tam giác.
Cảm ơn bạn đã xem bài viết Tính chất trực tâm là gì? 5 tính chất cơ bản trong tam giác tại Thcslytutrongst.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.
Từ Khoá Liên Quan:
1. Trung tuyến
2. Trực tâm
3. Trực trạng thái
4. Trung bình kỳ
5. Giao điểm
6. Tâm của đường cao
7. Tâm của đường phân giác
8. Tâm của đường trung trực
9. Tâm của đường đối xứng
10. Tâm của đường tiếp tuyến
11. Tâm của đường trục
12. Tâm của đường phân hoạch
13. Tâm của đường tiếp tuyến nội tiếp
14. Tâm của đường tiếp tuyến ngoại tiếp
15. Tâm của đường tiếp xúc.
